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8.3 : La fonction Riemann Zeta - Mathématiques


La fonction zêta de Riemann (zeta(z)) est une fonction analytique qui est une fonction très importante dans la théorie analytique des nombres. Il est (initialement) défini dans un domaine du plan complexe par le type spécial des séries de Dirichlet donné par [zeta(z)=sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^ z},] où (Re(z)>1). On vérifie aisément que la série donnée converge localement uniformément, et donc que (zeta(z)) est bien analytique dans le domaine du plan complexe (f C) défini par (Re(z) >1), et que cette fonction n'a pas de zéro dans ce domaine.

Nous montrons d'abord le résultat suivant qui est appelé la formule du produit d'Euler.

(zeta(z)), tel que défini par la série ci-dessus, peut s'écrire sous la forme [zeta(z)=prod_{n=1}^{infty}frac{1}{ left(1-frac{1}{p_n^z} ight)},] où ({p_n}) est la séquence de tous les nombres premiers.

sachant que si (|x|<1) alors [frac{1}{1-x}=sum_{k=0}^{infty}x^k,] on trouve que chaque terme (frac{1}{1-frac{1}{p_n^z}}) dans (zeta(z)) est donné par [frac{1}{1-frac{1} {p_n^z}}=sum_{k=0}^{infty}frac{1}{p_n^{kz}},] puisque chaque (|1/p_n^z|<1) si (Re(z)>1). Cela donne que pour tout entier (N) [egin{aligned} prod_{n=1}^Nfrac{1}{left(1-frac{1}{p_n^z} ight )}&=&prod_{n=1}^Nleft(1+ frac{1}{p_n^z}+frac{1}{p_n^{2z}}+cdots ight) onumber &=&sumfrac{1}{p_ {n_1}^{k_1z}cdots p_{n_i}^{k_jz}}&=&sumfrac{1}{n^z} nonumberend{aligned}] où (i) s'étend sur (1,cdots,N), et (j) s'étend de (0) à (infty), et donc les entiers (n) de la troisième ligne ci-dessus s'étendent sur tous les entiers dont la factorisation des nombres premiers consiste en un produit des puissances des nombres premiers (p_1=2,cdots, p_N). Notez également que chacun de ces entiers (n) n'apparaît qu'une seule fois dans la somme ci-dessus.

Maintenant, puisque la série dans la définition de (zeta(z)) converge absolument et que l'ordre des termes dans la somme n'a pas d'importance pour la limite, et puisque, finalement, tout entier (n) apparaît sur la côté droit de 8.15 comme (Nlongrightarrowinfty), puis (lim_{N oinfty}left[sumfrac{1}{n^z} onumber ight]_N= zeta(z)). De plus, (lim_{N oinfty}prod_{n=1}^Nfrac{1}{left(1-frac{1}{p_n^z} ight)}) existe , et le résultat suit.

La fonction zêta de Riemann (zeta(z)) telle que définie par la série spéciale de Dirichlet ci-dessus, peut être continuée analytiquement en une fonction analytique à travers le plan complexe C sauf au point (z=1), où la fonction continue a un pôle d'ordre 1. Ainsi la suite de (zeta(z)) produit une fonction méromorphe en C avec un pôle simple en 1. Le théorème suivant donne ce résultat.

(zeta(z)), tel que défini ci-dessus, peut être continué méromorphe dans C, et peut être écrit sous la forme (zeta(z)=frac{1}{z-1}+f(z)), où (f(z)) est entier.

Étant donné cette continuation de (zeta(z)), et aussi étant donné l'équation fonctionnelle qui est satisfaite par cette fonction continue, et qui est [zeta(z)=2^zpi^{z-1} sinleft(frac{pi z}{2} ight)Gamma(1-z)zeta(1-z),] (voir une preuve dans ), où (Gamma) est la fonction gamma complexe, on peut en déduire que la suite (zeta(z)) a des zéros aux points (z=-2,-4,-6,cdots) sur l'axe réel négatif. Ceci est le suivant : La fonction gamma complexe (Gamma(z)) a des pôles aux points (z=-1,-2,-3,cdots) sur la droite réelle négative, et donc ( Gamma(1-z)) doit avoir des pôles à (z=2,3,cdots) sur l'axe réel positif. Et puisque (zeta(z)) est analytique à ces points, alors il doit être que soit (sinleft(frac{pi z}{2} ight)) soit (zeta (1-z)) doit avoir des zéros aux points (z=2,3,cdots) pour annuler les pôles de (Gamma(1-z)), et ainsi faire (zeta (z)) analytique à ces points. Et puisque (sinleft(frac{pi z}{2} ight)) a des zéros à (z=2,4,cdots), mais pas à (z=3,5 ,cdots), alors il doit être que (zeta(1-z)) a des zéros à (z=3,5,cdots). Cela donne que (zeta(z)) a des zéros à (z=-2,-4,-6cdots).

Il résulte également de l'équation fonctionnelle ci-dessus, et du fait mentionné ci-dessus que (zeta(z)) n'a pas de zéros dans le domaine où (Re(z)>1), que ces zéros à (z =-2,-4,-6cdots) de (zeta(z)) sont les seuls zéros qui ont des parties réelles soit inférieures à 0, soit supérieures à 1. Cela a été conjecturé par Riemann, L'hypothèse de Riemann, que tout autre zéro de (zeta(z)) dans la bande restante (0leq Re(z)leq 1), tous existent sur la ligne verticale (Re(z)=1/2 ). Cette hypothèse a été vérifiée pour des zéros dans cette bande à très grand module, mais reste sans preuve générale. On pense que la conséquence de l'hypothèse de Riemann sur la théorie des nombres, à condition qu'elle s'avère vraie, est immense.


Propriétés de $zeta(s)zeta(2s)zeta(3s)&hellip$

Considérons la série de Dirichlet $f(s)=sum_^infty a_n n^<-s>$, où $a_n$ est le nombre de groupes abéliens non isomorphes d'ordre $n$. Maintenant $a_n$ est faiblement multiplicatif et $a_=P(k)=$ numéro de partition de $k$, on obtient donc $f(s)=prod_

somme_^infty P(k) p^<-ks>=prod_

prod_^infty frac<1><1-p^<-ks>>$ à cause de la fonction génératrice du numéro de partition. On obtient donc $f(s)=prod_^infty zeta(k s)$ (où tout converge absolument).
Ma question est donc : que sait-on de cette fonction ? Existe-t-il une équation fonctionnelle ou une suite analytique ?
Merci beaucoup.


L'hypothèse de Riemann reste ouverte, précise l'institut de mathématiques

"En ce qui me concerne, l'hypothèse de Riemann reste ouverte", a déclaré Martin Bridson, président du Clay Mathematics Institute, interrogé sur la revendication de Kumar Eswaran, basé à Hyderabad, de résoudre le problème qui a intrigué les mathématiciens au cours des 162 dernières années. L'hypothèse de Riemann est l'un des problèmes du Millennium Prize, pour lequel 1 000 000 $ avaient été annoncés par le CMI depuis leur création en 2000. Les problèmes sont considérés comme des « questions classiques importantes qui ont résisté à la solution au fil des ans ».

L'hypothèse de Riemann, postulée par le mathématicien allemand G.F.B. Riemann, concerne les nombres premiers et leur distribution. Bien que la distribution ne suive aucun modèle régulier, Riemann pensait que la fréquence des nombres premiers était étroitement liée à une équation appelée fonction Riemann Zeta.

« Je suis surpris par le ton avec lequel des publications respectables en Inde traitent l'affirmation selon laquelle l'hypothèse de Riemann a été prouvée. La spéculation est irréfléchie et il serait sage d'enquêter plus sérieusement sur les raisons pour lesquelles les principaux journaux et spécialistes du domaine n'ont pas accepté cette proposition de preuve », a déclaré M. Bridson.

L'affirmation de Kumar Eswaran de résoudre l'équation fait l'actualité depuis 2016. M. Eswaran, qui est membre du corps professoral de l'Institut des sciences et technologies Sreenidhi, n'a pas pu être joint pour commenter. "Je ne me souviens d'aucun contact de l'auteur et je suis sceptique quant au mérite du processus d'examen auquel font allusion les journaux", a déclaré M. Bridson, qui a déclaré que l'institut respecterait scrupuleusement les règles énoncées pour évaluer des prix du millénaire a été résolu.

Sur le site du Clay Mathematics Institute, le dernier mot sur l'hypothèse de Riemann est : « Le problème n'est pas résolu ».


Introduction

Parmi les différents types de fonctions zêta en mathématiques, l'une des fonctions zêta les plus célèbres et les plus importantes est la fonction zêta de Riemann. Pour (s=sigma + i t in mathbb) avec (sigma >1) , la fonction zêta de Riemann est définie comme la série infinie absolument convergente

Il est bien connu que cette fonction admet un prolongement analytique à tout le plan complexe (mathbb) , a une formule de produit d'Euler et satisfait une équation fonctionnelle.

Récemment, Xin [6] a initié l'étude d'une somme réciproque liée à (zeta (2)) et (zeta (3)) , et a prouvé les deux égalités suivantes : pour tout entier positif m, on a

où ([x]) désigne le plus grand entier inférieur ou égal à X. Une observation de base de ce résultat est que (n-1) et (2n(n-1)) sont des polynômes dans la variable m. Xin [6] a également proposé un problème naturel pour déterminer l'existence d'une formule de calcul explicite pour ([ (sum_^ frac<1><>> )^ <-1>]) pour un entier (s geq 4) . Pour tenter de résoudre ce problème, Xin et Xiaoxue [7] ont proposé une formule de calcul pour le cas (s=4) , et Xu [8] a prouvé deux formules de calcul liées à la fonction zêta de Riemann à (s=4, 5) , en utilisant une méthode légèrement différente de celle de [7]. Aussi, les auteurs [3] ont introduit une formule explicite pour le cas (s=6) , qui dépend du résidu de m module 48.

Maintenant, si nous restreignons notre attention à quelques nombres rationnels (0< s<1) , alors nous avons la liste suivante de valeurs de la fonction zêta de Riemann :

Nous pouvons poser une question similaire dans le cas où s est un nombre rationnel sur la bande critique. A cet effet, pour un entier (n geq 1) et un réel s avec (0< s<1) , on laisse


8.3 : La fonction Riemann Zeta - Mathématiques

La fonction zêta de Riemann
La fonction zêta de Riemann ζ(s) est une fonction d'une variable complexe s = a + bi


Fonction Dirichlet Eta [Fichier Doc] Produit Euler [Fichier Doc] Fonction Gamma [Fichier Doc] Produit infini [Fichier Doc] Formule de réflexion [Fichier Doc]
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Tableau des fonctions Zeta (mode simple)

ζ(-20) = 1 +20 + 2 +20 + 3 +20 + . + n +20 = (0) + (1/21)*n 21 + (1/2) *n 20 + (1/12) (20)*n 19 +(0)n 18 - (1/120) (1140)* n 17 +(0)n 16 + (1/252) (15504)*n 15 +(0)n 14 - (1/240) (77520)*n 13 +(0)n 12 + (1/132) (167960)*n 11 +(0)n 10 - (691/32760) (167960)*n 9 +(0)n 8 + (1/12) (77520)*n 7 +(0)n 6 - ( 3617/8160) (15504)*n 5 +(0)n 4 + (43867/14364) (1140)*n 3 +(0)n 2 - (174611/6600) (20)*n 1 +(0) n 0
ζ(-19) = 1 +19 + 2 +19 + 3 +19 + . + n +19 = (174611/6600) + (1/20)*n 20 + (1/2) *n 19 + (1/12) (19)*n 18 +(0)n 17 - (1/120) ( 969 )*n 16 +(0)n 15 + (1/252) (11628)*n 14 +(0)n 13 - (1/240) (50388)*n 12 +(0)n 11 + (1/ 132) ( 92378)*n 10 +(0)n 9 - (691/32760) ( 75582)*n 8 +(0)n 7 + (1/12) (27132)*n 6 +(0)n 5 - (3617/8160) ( 3876)*n 4 +(0)n 3 + (43867/14364) ( 171)*n 2 +(0)n 1 - (174611/6600) ( 1)*n 0
ζ(-18) = 1 +18 + 2 +18 + 3 +18 + . + n +18 = (0) + (1/19)*n 19 + (1/2) *n 18 + (1/12) (18)*n 17 +(0)n 16 - (1/120) ( 816)* n 15 +(0)n 14 + (1/252) ( 8568)*n 13 +(0)n 12 - (1/240) (31824)*n 11 +(0)n 10 + (1/132) ( 48620)*n 9 +(0)n 8 - (691/32760) ( 31824)*n 7 +(0)n 6 + (1/12) ( 8568)*n 5 +(0)n 4 - ( 3617/8160) ( 816)*n 3 +(0)n 2 + (43867/14364) ( 18)*n 1 +(0)n 0
ζ(-17) = 1 +17 + 2 +17 + 3 +17 + . + n +17 = - (43867/14364) + (1/18)*n 18 + (1/2) *n 17 + (1/12) (17)*n 16 +(0)n 15 - (1/120) ( 680)*n 14 +(0)n 13 + (1/252) ( 6188)*n 12 +(0)n 11 - (1/240) (19448)*n 10 +(0)n 9 + (1 /132) ( 24310)*n 8 +(0)n 7 - (691/32760) ( 12376)*n 6 +(0)n 5 + (1/12) ( 2380)*n 4 +(0)n 3 - (3617/8160) ( 136)*n 2 +(0)n 1 + (43867/14364) ( 1)*n 0
ζ(-16) = 1 +16 + 2 +16 + 3 +16 + . + n +16 = (0) + (1/17)*n 17 + (1/2) *n 16 + (1/12) (16)*n 15 +(0)n 14 - (1/120) ( 560)* n 13 +(0)n 12 + (1/252) ( 4368)*n 11 +(0)n 10 - (1/240) (11440)*n 9 +(0)n 8 + (1/132) ( 11440)*n 7 +(0)n 6 - (691/32760) ( 4368)*n 5 +(0)n 4 + (1/12) ( 560)*n 3 +(0)n 2 - ( 3617/8160) ( 16)*n 1 +(0)n 0
ζ(-15) = 1 +15 + 2 +15 + 3 +15 + . + n +15 = (3617/8160) + (1/16)*n 16 + (1/2) *n 15 + (1/12) (15)*n 14 +(0)n 13 - (1/120) ( 455 )*n 12 +(0)n 11 + (1/252) ( 3003)*n 10 +(0)n 9 - (1/240) ( 6435)*n 8 +(0)n 7 + (1/ 132) ( 5005)*n 6 +(0)n 5 - (691/32760) ( 1365)*n 4 +(0)n 3 + (1/12) ( 105)*n 2 +(0)n 1 - (3617/8160) ( 1)*n 0
ζ(-14) = 1 +14 + 2 +14 + 3 +14 + . + n +14 = (0) + (1/15)*n 15 + (1/2) *n 14 + (1/12) (14)*n 13 +(0)n 12 - (1/120) ( 364)* n 11 +(0)n 10 + (1/252) ( 2002)*n 9 +(0)n 8 - (1/240) ( 3432)*n 7 +(0)n 6 + (1/132) ( 2002)*n 5 +(0)n 4 - (691/32760) ( 364)*n 3 +(0)n 2 + (1/12) ( 14)*n 1 +(0)n 0
ζ(-13) = 1 +13 + 2 +13 + 3 +13 + . + n +13 = - (1/12) + (1/14)*n 14 + (1/2) *n 13 + (1/12) (13)*n 12 +(0)n 11 - (1/120) ( 286)*n 10 +(0)n 9 + (1/252) (1287)*n 8 +(0)n 7 - (1/240) ( 1716)*n 6 +(0)n 5 + (1 /132) ( 715)*n 4 +(0)n 3 - (691/32760) ( 78)*n 2 +(0)n 1 + (1/12) ( 1)*n 0
ζ(-12) = 1 +12 + 2 +12 + 3 +12 + . + n +12 = (0) + (1/13)*n 13 + (1/2) *n 12 + (1/12) (12)*n 11 +(0)n 10 - (1/120) ( 220)* n 9 +(0)n 8 + (1/252) ( 792)*n 7 +(0)n 6 - (1/240) ( 792)*n 5 +(0)n 4 + (1/132) ( 220)*n 3 +(0)n 2 - (691/32760) ( 12)*n 1 +(0)n 0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (105n 10 +525n 9 +525n 8 -1050n 7 -1190n 6 +2310n 5 +1420n 4 -3285n 3 -287n 2 +2073n-691) /455
ζ(-11) = 1 +11 + 2 +11 + 3 +11 + . + n +11 = (691/32760) + (1/12)*n 12 + (1/2) *n 11 + (1/12) (11)*n 10 +(0)n 9 - (1/120) ( 165 )*n 8 +(0)n 7 + (1/252) ( 462)*n 6 +(0)n 5 - (1/240) ( 330)*n 4 +(0)n 3 + (1/ 132) ( 55)*n 2 +(0)n 1 - (691/32760) ( 1)*n 0 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 8 +8n 7 +4n 6 -16n 5 -5n 4 +26n 3 -3n 2 -20n+10)/6
ζ(-10) = 1 +10 + 2 +10 + 3 +10 + . + n +10 = (0) + (1/11)*n 11 + (1/2) *n 10 + (1/12) (10)*n 9 +(0)n 8 - (1/120) ( 120)* n 7 +(0)n 6 + (1/252) ( 252)*n 5 +(0)n 4 - (1/240) ( 120)*n 3 +(0)n 2 + (1/132) ( 10)*n 1 +(0)n 0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (n 2 +n-1) * (3n 6 +9n 5 +2n 4 -11n 3 +3n 2 +10n-5)/11
ζ(-9) = 1 +9 + 2 +9 + 3 +9 + . + n +9 = - (1/132) + (1/10)*n 10 + (1/2) *n 9 + (1/12) ( 9)*n 8 +(0)n 7 - (1/120) ( 84)*n 6 +(0)n 5 + (1/252) ( 126)*n 4 +(0)n 3 - (1/240) ( 36)*n 2 +(0)n 1 + (1 /132) ( 1)*n 0 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (n 2 +n-1) * (2n 4 +4n 3 -n 2 -3n+3)/5
ζ(-8) = 1 +8 + 2 +8 + 3 +8 + . + n +8 = (0) + (1/9 )*n 9 + (1/2) *n 8 + (1/12) ( 8)*n 7 +(0)n 6 - (1/120) ( 56)* n 5 +(0)n 4 + (1/252) ( 56)*n 3 +(0)n 2 - (1/240) ( 8)*n 1 +(0)n 0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (5n 6 +15n 5 +5n 4 -15n 3 -n 2 +9n-3)/15
ζ(-7) = 1 +7 + 2 +7 + 3 +7 + . + n +7 = (1/240) + (1/8 )*n 8 + (1/2) *n 7 + (1/12) ( 7)*n 6 +(0)n 5 - (1/120) ( 35 )*n 4 +(0)n 3 + (1/252) ( 21)*n 2 +(0)n 1 - (1/240) ( 1)*n 0 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (3n 4 + 6n 3 -n 2 -4n-2)/6
ζ(-6) = 1 +6 + 2 +6 + 3 +6 + . + n +6 = (0) + (1/7 )*n 7 + (1/2) *n 6 + (1/12) ( 6)*n 5 +(0)n 4 - (1/120) ( 20)* n 3 +(0)n 2 + (1/252) ( 6)*n 1 +(0)n 0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n 4 + 6n 3 -3n+1)/7
ζ(-5) = 1 +5 + 2 +5 + 3 +5 + . + n +5 = - (1/252) + (1/6 )*n 6 + (1/2) *n 5 + (1/12) ( 5)*n 4 +(0)n 3 - (1/120) ( 10)*n 2 +(0)n 1 + (1/252) ( 1)*n 0 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 2 + 2n-1)/3
ζ(-4) = 1 +4 + 2 +4 + 3 +4 + . + n +4 = (0) + (1/5 )*n 5 + (1/2) *n 4 + (1/12) ( 4)*n 3 +(0)n 2 - (1/120) ( 4)* n 1 +(0)n 0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n 2 + 3n-1)/5
ζ(-3) = 1 +3 + 2 +3 + 3 +3 + . + n +3 = (1/120) + (1/4 )*n 4 + (1/2) *n 3 + (1/12) ( 3)*n 2 +(0)n 1 - (1/120) ( 1 )*n 0 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2
ζ(-2) = 1 +2 + 2 +2 + 3 +2 + . +n+2 = (0) + (1/3 )*n 3 + (1/2) *n 2 + (1/12) ( 2)*n 1 +(0)n 0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3
ζ(-1) = 1 +1 + 2 +1 + 3 +1 + . + n+1 = - (1/12) + (1/2 )*n 2 + (1/2) *n 1 + (1/12) ( 1)*n 0 = n(n+1)/2
ζ( 0) = 1 0 + 2 0 + 3 0 + . + n 0 = - (1/2) + (1/1 )*n 1 + (1/2) *n 0 = n

Formule de Faulhaber [Fichier Doc] Ma correction pour
Numéros de Bernoulli [Fichier Doc]
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Tableau des fonctions Zeta (mode avancé)

Voici ma Tableau du mode avancé :

ζ(-20) = 1 +20 + 2 +20 + 3 +20 + . + n +20 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((20)!/(20- (-1) )!/ (-1) !)*n 20- (-1) + ( 1/2) *n 20-0 +(1/12) (20!/(20- 1 )!/ 1 !)*n 20- 1 +(0)n 20-2 + ​​(-1) (1/ 120) (20!/(20- 3 )!/ 3 !)*n 20- 3 +(0)n 20-4 +(1/252) (20!/(20- 5 )!/ 5 !)* n 20- 5 +(0)n 20-6 + (-1) (1/240) (20!/(20- 7 )!/ 7 !)*n 20- 7 +(0)n 20-8 + (1/132) (20!/(20- 9 )!/ 9 !)*n 20- 9 +(0)n 20-10 + (-1) (691/32760) (20!/(20- 11 )!/ 11 !)*n 20- 11 +(0)n 20-12 +(1/12) (20!/(20- 13 )!/ 13 !)*n 20- 13 +(0)n 20 -14 + (-1) (3617/8160) (20!/(20- 15 )!/ 15 !)*n 20- 15 +(0)n 20-16 +(43867/14364) (20!/( 20- 17 )!/ 17 !)*n 20- 17 +(0)n 20-18 + (-1) (174611/6600) (20!/(20- 19 )!/ 19 !)*n 20- 19 +(0)n 20-20
ζ(-19) = 1 +19 + 2 +19 + 3 +19 + . + n +19 = - (-1) (174611/6600) + (-1) (-(-1)!) ((19)!/(19- (-1) )!/ (-1) !)*n 19- (-1) + (1/2) *n 19-0 +(1/12) (19!/(19- 1 )!/ 1 !)*n 19- 1 +(0)n 19-2 + ( -1) (1/120) (19!/(19- 3 )!/ 3 !)*n 19- 3 +(0)n 19-4 +(1/252) (19!/(19- 5 ) !/ 5 !)*n 19- 5 +(0)n 19-6 + (-1) (1/240) (19!/(19- 7 )!/ 7 !)*n 19- 7 +(0 )n 19-8 +(1/132) (19!/(19- 9 )!/ 9 !)*n 19- 9 +(0)n 19-10 + (-1) (691/32760) (19 !/(19- 11 )!/ 11 !)*n 19- 11 +(0)n 19-12 +(1/12) (19!/(19- 13 )!/ 13 !)*n 19- 13 +(0)n 19-14 + (-1) (3617/8160) (19!/(19- 15 )!/ 15 !)*n 19- 15 +(0)n 19-16 +(43867/14364 ) (19!/(19- 17 )!/ 17 !)*n 19- 17 +(0)n 19-18 + (-1) (174611/6600) (19!/(19- 19 )!/ 19 !)*n 19- 19
ζ(-18) = 1 +18 + 2 +18 + 3 +18 + . + n +18 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((18)!/(18- (-1) )!/ (-1) !)*n 18- (-1) + ( 1/2) *n 18-0 +(1/12) (18!/(18- 1 )!/ 1 !)*n 18- 1 +(0)n 18-2 + (-1) (1/ 120) (18!/(18- 3 )!/ 3 !)*n 18- 3 +(0)n 18-4 +(1/252) (18!/(18- 5 )!/ 5 !)* n 18- 5 +(0)n 18-6 + (-1) (1/240) (18!/(18- 7 )!/ 7 !)*n 18- 7 +(0)n 18-8 + (1/132) (18!/(18- 9 )!/ 9 !)*n 18- 9 +(0)n 18-10 + (-1) (691/32760) (18!/(18- 11 )!/ 11 !)*n 18- 11 +(0)n 18-12 +(1/12) (18!/(18- 13 )!/ 13 !)*n 18- 13 +(0)n 18 -14 + (-1) (3617/8160) (18!/(18- 15 )!/ 15 !)*n 18- 15 +(0)n 18-16 +(43867/14364) (18!/( 18- 17 )!/ 17 !)*n 18- 17 +(0)n 18-18
ζ(-17) = 1 +17 + 2 +17 + 3 +17 + . + n +17 = - (43867/14364) + (-1) (-(-1)!) ((17)!/(17- (-1) )!/ (-1) !)*n 17- (-1) + (1/2) *n 17-0 +(1/12) (17!/(17- 1 )!/ 1 !)*n 17- 1 +(0)n 17-2 + (-1) ( 1/120) (17!/(17- 3 )!/ 3 !)*n 17- 3 +(0)n 17-4 +(1/252) (17!/(17- 5 )!/ 5 ! )*n 17- 5 +(0)n 17-6 + (-1) (1/240) (17!/(17- 7 )!/ 7 !)*n 17- 7 +(0)n 17- 8 +(1/132) (17!/(17- 9 )!/ 9 !)*n 17- 9 +(0)n 17-10 + (-1) (691/32760) (17!/(17 - 11 )!/ 11 !)*n 17- 11 +(0)n 17-12 +(1/12) (17!/(17- 13 )!/ 13 !)*n 17- 13 +(0) n 17-14 + (-1) (3617/8160) (17!/(17- 15 )!/ 15 !)*n 17- 15 +(0)n 17-16 +(43867/14364) (17! /(17- 17 )!/ 17 !)*n 17- 17
ζ(-16) = 1 +16 + 2 +16 + 3 +16 + . + n +16 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((16)!/(16- (-1) )!/ (-1) !)*n 16- (-1) + ( 1/2) *n 16-0 +(1/12) (16!/(16- 1 )!/ 1 !)*n 16- 1 +(0)n 16-2 + (-1) (1/ 120) (16!/(16- 3 )!/ 3 !)*n 16- 3 +(0)n 16-4 +(1/252) (16!/(16- 5 )!/ 5 !)* n 16- 5 +(0)n 16-6 + (-1) (1/240) (16!/(16- 7 )!/ 7 !)*n 16- 7 +(0)n 16-8 + (1/132) (16!/(16- 9 )!/ 9 !)*n 16- 9 +(0)n 16-10 + (-1) (691/32760) (16!/(16- 11 )!/ 11 !)*n 16- 11 +(0)n 16-12 +(1/12) (16!/(16- 13 )!/ 13 !)*n 16- 13 +(0)n 16 -14 + (-1) (3617/8160) (16!/(16- 15 )!/ 15 !)*n 16- 15 +(0)n 16-16
ζ(-15) = 1 +15 + 2 +15 + 3 +15 + . + n +15 = - (-1) (3617/8160) + (-1) (-(-1)!) ((15)!/(15- (-1) )!/ (-1) !)*n 15- (-1) + (1/2) *n 15-0 +(1/12) (15!/(15- 1 )!/ 1 !)*n 15- 1 +(0)n 15-2 + ( -1) (1/120) (15!/(15- 3 )!/ 3 !)*n 15- 3 +(0)n 15-4 +(1/252) (15!/(15- 5 ) !/ 5 !)*n 15- 5 +(0)n 15-6 + (-1) (1/240) (15!/(15- 7 )!/ 7 !)*n 15- 7 +(0 )n 15-8 +(1/132) (15!/(15- 9 )!/ 9 !)*n 15- 9 +(0)n 15-10 + (-1) (691/32760) (15 !/(15- 11 )!/ 11 !)*n 15- 11 +(0)n 15-12 +(1/12) (15!/(15- 13 )!/ 13 !)*n 15- 13 +(0)n 15-14 + (-1) (3617/8160) (15!/(15- 15 )!/ 15 !)*n 15- 15
ζ(-14) = 1 +14 + 2 +14 + 3 +14 + . + n +14 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((14)!/(14- (-1) )!/ (-1) !)*n 14- (-1) + ( 1/2) *n 14-0 +(1/12) (14!/(14- 1 )!/ 1 !)*n 14- 1 +(0)n 14-2 + (-1) (1/ 120) (14!/(14- 3 )!/ 3 !)*n 14- 3 +(0)n 14-4 +(1/252) (14!/(14- 5 )!/ 5 !)* n 14- 5 +(0)n 14-6 + (-1) (1/240) (14!/(14- 7 )!/ 7 !)*n 14- 7 +(0)n 14-8 + (1/132) (14!/(14- 9 )!/ 9 !)*n 14- 9 +(0)n 14-10 + (-1) (691/32760) (14!/(14- 11 )!/ 11 !)*n 14- 11 +(0)n 14-12 +(1/12) (14!/(14- 13 )!/ 13 !)*n 14- 13 +(0)n 14 -14
ζ(-13) = 1 +13 + 2 +13 + 3 +13 + . + n +13 = - (1/12) + (-1) (-(-1)!) ((13)!/(13- (-1) )!/ (-1) !)*n 13- (-1) + (1/2) *n 13-0 +(1/12) (13!/(13- 1 )!/ 1 !)*n 13- 1 +(0)n 13-2 + (-1) ( 1/120) (13!/(13- 3 )!/ 3 !)*n 13- 3 +(0)n 13-4 +(1/252) (13!/(13- 5 )!/ 5 ! )*n 13- 5 +(0)n 13-6 + (-1) (1/240) (13!/(13- 7 )!/ 7 !)*n 13- 7 +(0)n 13- 8 +(1/132) (13!/(13- 9 )!/ 9 !)*n 13- 9 +(0)n 13-10 + (-1) (691/32760) (13!/(13 - 11 )!/ 11 !)*n 13- 11 +(0)n 13-12 +(1/12) (13!/(13- 13 )!/ 13 !)*n 13- 13
ζ(-12) = 1 +12 + 2 +12 + 3 +12 + . + n +12 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((12)!/(12- (-1) )!/ (-1) !)*n 12- (-1) + ( 1/2) *n 12-0 +(1/12) (12!/(12- 1 )!/ 1 !)*n 12- 1 +(0)n 12-2 + (-1) (1/ 120) (12!/(12- 3 )!/ 3 !)*n 12- 3 +(0)n 12-4 +(1/252) (12!/(12- 5 )!/ 5 !)* n 12- 5 +(0)n 12-6 + (-1) (1/240) (12!/(12- 7 )!/ 7 !)*n 12- 7 +(0)n 12-8 + (1/132) (12!/(12- 9 )!/ 9 !)*n 12- 9 +(0)n 12-10 + (-1) (691/32760) (12!/(12- 11 )!/ 11 !)*n 12- 11 +(0)n 12-12 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (105n 10 +525n 9 +525n 8 -1050n 7 -1190n 6 +2310n 5 +1420n 4 -3285n 3 -287n 2 +2073n-691) /455
ζ(-11) = 1 +11 + 2 +11 + 3 +11 + . + n +11 = - (-1) (691/32760) + (-1) (-(-1)!) ((11)!/(11- (-1) )!/ (-1) !)*n 11- (-1) + (1/2) *n 11-0 +(1/12) (11!/(11- 1 )!/ 1 !)*n 11- 1 +(0)n 11-2 + ( -1) (1/120) (11!/(11- 3 )!/ 3 !)*n 11- 3 +(0)n 11-4 +(1/252) (11!/(11- 5 ) !/ 5 !)*n 11- 5 +(0)n 11-6 + (-1) (1/240) (11!/(11- 7 )!/ 7 !)*n 11- 7 +(0 )n 11-8 +(1/132) (11!/(11- 9 )!/ 9 !)*n 11- 9 +(0)n 11-10 + (-1) (691/32760) (11 !/(11- 11 )!/ 11 !)*n 11- 11 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 8 +8n 7 +4n 6 -16n 5 -5n 4 +26n 3 -3n 2 -20n+10)/6
ζ(-10) = 1 +10 + 2 +10 + 3 +10 + . + n +10 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((10)!/(10- (-1) )!/ (-1) !)*n 10- (-1) + ( 1/2) *n 10-0 +(1/12) (10!/(10- 1 )!/ 1 !)*n 10- 1 +(0)n 10-2 + ​​(-1) (1/ 120) (10!/(10- 3 )!/ 3 !)*n 10- 3 +(0)n 10-4 +(1/252) (10!/(10- 5 )!/ 5 !)* n 10- 5 +(0)n 10-6 + (-1) (1/240) (10!/(10- 7 )!/ 7 !)*n 10- 7 +(0)n 10-8 + (1/132) (10!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 10- 9 +(0)n 10-10 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (n 2 +n-1) * (3n 6 +9n 5 +2n 4 -11n 3 +3n 2 +10n-5)/11
ζ(-9) = 1 +9 + 2 +9 + 3 +9 + . + n +9 = - (1/132) + (-1) (-(-1)!) (( 9)!/( 9- (-1) )!/ (-1) !)*n 9- (-1) + (1/2) *n 9-0 +(1/12) ( 9!/( 9- 1 )!/ 1 !)*n 9- 1 +(0)n 9-2 + (-1) ( 1/120) ( 9!/( 9- 3 )!/ 3 !)*n 9- 3 +(0)n 9-4 +(1/252) ( 9!/( 9- 5 )!/ 5 ! )*n 9- 5 +(0)n 9-6 + (-1) (1/240) ( 9!/( 9- 7 )!/ 7 !)*n 9- 7 +(0)n 9- 8 +(1/132) ( 9!/( 9- 9 )!/ 9 !)*n 9- 9 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (n 2 +n-1) * (2n 4 +4n 3 -n 2 -3n+3)/5
ζ(-8) = 1 +8 + 2 +8 + 3 +8 + . + n +8 = - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 8)!/( 8- (-1) )!/ (-1) !)*n 8- (-1) + ( 1/2) *n 8-0 +(1/12) ( 8!/( 8- 1 )!/ 1 !)*n 8- 1 +(0)n 8-2 + (-1) (1/ 120) ( 8!/( 8- 3 )!/ 3 !)*n 8- 3 +(0)n 8-4 +(1/252) ( 8!/( 8- 5 )!/ 5 !)* n 8- 5 +(0)n 8-6 + (-1) (1/240) ( 8!/( 8- 7 )!/ 7 !)*n 8- 7 +(0)n 8-8 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (5n 6 +15n 5 +5n 4 -15n 3 -n 2 +9n-3)/15
ζ(-7) = 1 +7 + 2 +7 + 3 +7 + . + n +7 = - (-1) (1/240) + (-1) (-(-1)!) (( 7)!/( 7- (-1) )!/ (-1) !)*n 7- (-1) + (1/2) *n 7-0 +(1/12) ( 7!/( 7- 1 )!/ 1 !)*n 7- 1 +(0)n 7-2 + ( -1) (1/120) ( 7!/( 7- 3 )!/ 3 !)*n 7- 3 +(0)n 7-4 +(1/252) ( 7!/( 7- 5 ) !/ 5 !)*n 7- 5 +(0)n 7-6 + (-1) (1/240) ( 7!/( 7- 7 )!/ 7 !)*n 7- 7 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (3n 4 + 6n 3 -n 2 -4n-2)/6
ζ(-6) = 1 +6 + 2 +6 + 3 +6 + . + n +6 = - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 6)!/( 6- (-1) )!/ (-1) !)*n 6- (-1) + ( 1/2) *n 6-0 +(1/12) ( 6!/( 6- 1 )!/ 1 !)*n 6- 1 +(0)n 6-2 + (-1) (1/ 120) ( 6!/( 6- 3 )!/ 3 !)*n 6- 3 +(0)n 6-4 +(1/252) ( 6!/( 6- 5 )!/ 5 !)* n 6- 5 +(0)n 6-6 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n 4 + 6n 3 -3n+1)/7
ζ(-5) = 1 +5 + 2 +5 + 3 +5 + . + n +5 = - (1/252) + (-1) (-(-1)!) (( 5)!/( 5- (-1) )!/ (-1) !)*n 5- (-1) + (1/2) *n 5-0 +(1/12) ( 5!/( 5- 1 )!/ 1 !)*n 5- 1 +(0)n 5-2 + (-1) ( 1/120) ( 5!/( 5- 3 )!/ 3 !)*n 5- 3 +(0)n 5-4 +(1/252) ( 5!/( 5- 5 )!/ 5 ! )*n 5- 5 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 2 + 2n-1)/3
ζ(-4) = 1 +4 + 2 +4 + 3 +4 + . + n +4 = - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 4)!/( 4- (-1) )!/ (-1) !)*n 4- (-1) + ( 1/2) *n 4-0 +(1/12) ( 4!/( 4- 1 )!/ 1 !)*n 4- 1 +(0)n 4-2 + (-1) (1/ 120) ( 4!/( 4- 3 )!/ 3 !)*n 4- 3 +(0)n 4-4 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n 2 + 3n-1)/5
ζ(-3) = 1 +3 + 2 +3 + 3 +3 + . + n +3 = - (-1) (1/120) + (-1) (-(-1)!) (( 3)!/( 3- (-1) )!/ (-1) !)*n 3- (-1) + (1/2) *n 3-0 +(1/12) ( 3!/( 3- 1 )!/ 1 !)*n 3- 1 +(0)n 3-2 + ( -1) (1/120) ( 3!/( 3- 3 )!/ 3 !)*n 3- 3 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2
ζ(-2) = 1 +2 + 2 +2 + 3 +2 + . +n+2 = - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 2)!/( 2- (-1) )!/ (-1) !)*n 2- (-1) + ( 1/2) *n 2-0 +(1/12) ( 2!/( 2- 1 )!/ 1 !)*n 2- 1 +(0)n 2-2 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3
ζ(-1) = 1 +1 + 2 +1 + 3 +1 + . + n+1 = - (1/12) + (-1) (-(-1)!) (( 1)!/( 1- (-1) )!/ (-1) !)*n 1- (-1) + (1/2) *n 1-0 +(1/12) ( 1!/( 1- 1 )!/ 1 !)*n 1- 1 = n(n+1)/2
ζ( 0) = 1 0 + 2 0 + 3 0 + . + n 0 = - (1/2) + (-1) (-(-1)!) (( 0)!/( 0- (-1) )!/ (-1) !)*n 0- (-1) + (1/2) *n 0-0 = n
ζ(+1) = 1 -1 + 2 -1 + 3 -1 + . + n -1 = - (-1) (-(-1 )!) + (-1) (-(-1)!) ((-1)!/(-1- (-1) )!/ (-1) ! )*n -1- (-1) + ln(n+1)-1/(2n+2)+0,577215664901532860651209008240243104215933593992359880576723488486772677766467093694 . A001620
ζ(+2) = 1 -2 + 2 -2 + 3 -2 + . = π +2 * 2 +1 / ( 1 ) ! * (1/12) = π 2 / 6 = 1.64493406684822643647241516664602518921894990120679843773555822937000747040320087383362890061975870 . A013661
ζ(+3) = 1 -3 + 2 -3 + 3 -3 + . = π +3 * 2 +2 / ( 2 ) ! * (0) + . = π 3/25.7943501666186840185586365793965132900509523271312260706140213406494349134925061412251 . A308637 = 1.20205690315959428539973816151144999076498629234049888179227155534183820578631309018645587360933525. A002117
ζ(+4) = 1 -4 + 2 -4 + 3 -4 + . = π +4 * 2 +3 / ( 3 ) ! * (1/120) = π 4 / 90 = 1.08232323371113819151600369654116790277475095191872690768297621544412061618696884655690963594169991 . A013662
ζ(+5) = 1 -5 + 2 -5 + 3 -5 + . = π +5 * 2 +4 / ( 4 ) ! * (0) + . = π 5/295.121509929078814295416301676822594619632418745885100174880081881222512573492113833455 . A309926 = 1.03692775514336992633136548645703416805708091950191281197419267790380358978628148456004310655713333 . A013663
ζ(+6) = 1 -6 + 2 -6 + 3 -6 + . = π +6 * 2 +5 / ( 5 ) ! * (1/252) = π 6 / 945 = 1.01734306198444913971451792979092052790181749003285356184240866400433218290195789788277397793853517 . A013664
ζ(+7) = 1 -7 + 2 -7 + 3 -7 + . = π +7 * 2 +6 / ( 6 ) ! * (0) + . = π 7/2995.28476444062987421457140194123586447237619811128862116034993083589922581051107464452 . A309927 = 1.00834927738192282683979754984979675959986356056523870641728313657160147831735573534609696891385132 . A013665
ζ(+8) = 1 -8 + 2 -8 + 3 -8 + . = π +8 * 2 +7 / ( 7 ) ! * (1/240) = π 8 / 9450 = 1.00407735619794433937868523850865246525896079064985002032911020265258295257474881439528723037237197 . A013666
ζ(+9) = 1 -9 + 2 -9 + 3 -9 + . = π +9 * 2 +8 / ( 8 ) ! * (0) + . = π 9/29749.3509504167924732263575439992360954535708605981514652679131630981776684624977358377 . A309928 = 1.00200839282608221441785276923241206048560585139488875654859661590978505339025839895039306912716958 . A013667
ζ(+10) = 1 -10 + 2 -10 + 3 -10 + . = π +10 * 2 +9 / ( 9 ) ! * (1/132) = π 10 / 93555 = 1.00099457512781808533714595890031901700601953156447751725778899463629146515191295439704196861038565 . A013668
ζ(+11) = 1 -11 + 2 -11 + 3 -11 + . = π +11 * 2 +10 / ( 10) ! * (0) + . = π 11/294058.697516635663068056032177491189612189560972448164117512566969938747449053262053487 . A309929 = 1.00049418860411946455870228252646993646860643575820861711914143610005405979821981470259184302356062 . A013669
ζ(+12) = 1 -12 + 2 -12 + 3 -12 + . = π +12 * 2 +11 / ( 11) ! * (691/32760) = π 12 * 691 / 638512875 = 1.00024608655330804829863799804773967096041608845800340453304095213325201968194091304904280855190069 . A013670
ζ(+13) = 1 -13 + 2 -13 + 3 -13 + . = π +13 * 2 +12 / ( 12) ! * (0) + . = π 13/2903320.99437496874471612902548598299518022850873348106519286211097791175125276089735094 . Pas d'OEIS = 1.00012271334757848914675183652635739571427510589550984513670267162089672682984420981289271395326813 . A013671
ζ(+14) = 1 -14 + 2 -14 + 3 -14 + . = π +14 * 2 +13 / ( 13) ! * (1/12) = π 14 * 2 / 18243225 = 1.00006124813505870482925854510513533374748169616915454948275520225286294102317742087665978297199846 . A013672
ζ(+15) = 1 -15 + 2 -15 + 3 -15 + . = π +15 * 2 +14 / ( 14) ! * (0) + . = π 15/28657269.3940598590044202589379919803466424134329335109381917049703719697921088276545668 . Pas d'OEIS = 1.00003058823630702049355172851064506258762794870685817750656993289333226715634227957307233434701754. A013673
ζ(+16) = 1 -16 + 2 -16 + 3 -16 + . = π +16 * 2 +15 / ( 15) ! * (3617/8160) = π 16 * 3617 / 325641566250 = 1.00001528225940865187173257148763672202323738899047153115310520358878708702795315178628560484632246 . A013674
ζ(+17) = 1 -17 + 2 -17 + 3 -17 + . = π +17 * 2 +16 / ( 16) ! * (0) + . = π 17 / 282842403.463197426131307236264129094363182272952265735576995225855515620331164084358670 . Pas d'OEIS = 1.00000763719763789976227360029356302921308824909026267909537984397293564329028245934208173863691667 . A013675
ζ(+18) = 1 -18 + 2 -18 + 3 -18 + . = π +18 * 2 +17 / ( 17) ! * (43867/14364) = π 18 * 43867 / 38979295480125 = 1.00000381729326499983985646164462193973045469721895333114317442998763003954265004563800196866898964 . A013676
ζ(+19) = 1 -19 + 2 -19 + 3 -19 + . = π +19 * 2 +18 / ( 18) ! * (0) + . = π 19/2791558622.71018270391989516441857455178217039199704213989473442616757883445034218379359 . Pas d'OEIS = 1.00000190821271655393892565695779510135325857114483863023593304676182394970534130931266422711807630 . A013677
ζ(+20) = 1 -20 + 2 -20 + 3 -20 + . = π +20 * 2 +19 / ( 19) ! * (174611/6600) = π 20 * 174611 / 1531329465290625 = 1.000000953962033872796113152038683449345943794187410595750056489885113751373114390025783609797638747 . A013678

J'ai fait une correction pour l'accentuation des nombres de Bernoulli sur le premier indice de départ -1 qui est -(-1)!
ce résultat que j'ai obtenu en développant le coefficient 1/(m+1) à la bonne forme (-1)(B-1)(m!/(m-(-1))!/(-1)!)
j'obtiens également le bon résultat de -1/2 en utilisant le résultat en expansion -(-1) ! dans l'équation fonctionnelle

Je suis d'accord que la prochaine étape pourrait être une étape controversée mais cela semble fonctionner. c'est pourquoi je l'ai mis ici
ce n'est pas une preuve mais seulement un moyen de vous montrer que cela semble fonctionner aussi. je sais (-1) ! est indéfini !
mais aussi le nombre imaginaire n'était pas défini à un moment donné et maintenant vous divisez également des nombres imaginaires

Remarque importante : -(-1) ! n'est pas la somme des séries harmoniques, c'est la valeur de continuation analytique de ζ(1)
(ce qui est une belle façon de vous montrer un pôle point)

Tableau des fonctions Zeta (mode expérimental)

Voici ma Tableau du mode expérimental :

c'est comme ça que je le vois ! J'espère que vous l'apprécierez et l'apprécierez. c'était difficile à faire comme c'est maintenant dans sa forme finale
Veuillez noter ma rectification pour les numéros de Bernoulli ! mon index pour la forme de début B -1 à n-1
Veuillez noter que b-1 = -(-1) ! qui représente le pôle à 1
assurez-vous également de voir l'astuce que j'ai faite à la ligne ζ( 0) comment j'ai mis tous les endroits pairs à zéro
et j'ai surligné la partie (2 -1 ) π 0 * (2 -1 ) /(-1 ) ! * (-(-1 )!) - (0) qui implique d'où le 1/2 "vient"

ζ(-20) = 1 +20 + 2 +20 + 3 +20 + . + n +20 = π -20 * 2 -21 / (-21) ! * (±(-21)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((20)!/(20- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 20- (-1) + (1/2) *n 20-0 +(1/12) (20!/(20- 1 )!/ 1 !)*n 20- 1 +(0 )n 20-2 + ​​(-1) (1/120) (20!/(20- 3 )!/ 3 !)*n 20- 3 +(0)n 20-4 +(1/252) (20 !/(20- 5 )!/ 5 !)*n 20- 5 +(0)n 20-6 + (-1) (1/240) (20!/(20- 7 )!/ 7 !)* n 20- 7 +(0)n 20-8 +(1/132) (20!/(20- 9 )!/ 9 !)*n 20- 9 +(0)n 20-10 + (-1) (691/32760) (20!/(20- 11 )!/ 11 !)*n 20- 11 +(0)n 20-12 +(1/12) (20!/(20- 13 )!/ 13 !)*n 20- 13 +(0)n 20-14 + (-1) (3617/8160) (20!/(20- 15 )!/ 15 !)*n 20- 15 +(0)n 20 -16 +(43867/14364) (20!/(20- 17 )!/ 17 !)*n 20- 17 +(0)n 20-18 + (-1) (174611/6600) (20!/( 20- 19 )!/ 19 !)*n 20- 19 +(0)n 20-20
ζ(-19) = 1 +19 + 2 +19 + 3 +19 + . + n +19 = π -19 * 2 -20 / (-20) ! * (±(-20)!)(0) - (-1) (174611/6600) + (-1) (-(-1)!) ((19)!/(19- (-1) )!/ (-1) !)*n 19- (-1) + (1/2) *n 19-0 +(1/12) (19!/(19- 1 )!/ 1 !)*n 19- 1 +(0)n 19-2 + (-1) (1/120) (19!/(19- 3 )!/ 3 !)*n 19- 3 +(0)n 19-4 +( 1/252) (19!/(19- 5 )!/ 5 !)*n 19- 5 +(0)n 19-6 + (-1) (1/240) (19!/(19- 7 ) !/ 7 !)*n 19- 7 +(0)n 19-8 +(1/132) (19!/(19- 9 )!/ 9 !)*n 19- 9 +(0)n 19- 10 + (-1) (691/32760) (19!/(19- 11 )!/ 11 !)*n 19- 11 +(0)n 19-12 +(1/12) (19!/(19 - 13 )!/ 13 !)*n 19- 13 +(0)n 19-14 + (-1) (3617/8160) (19!/(19- 15 )!/ 15 !)*n 19- 15 +(0)n 19-16 +(43867/14364) (19!/(19- 17 )!/ 17 !)*n 19- 17 +(0)n 19-18 + (-1) (174611/6600 ) (19!/(19- 19 )!/ 19 !)*n 19- 19
ζ(-18) = 1 +18 + 2 +18 + 3 +18 + . + n +18 = π -18 * 2 -19 / (-19) ! * (±(-19)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((18)!/(18- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 18- (-1) + (1/2) *n 18-0 +(1/12) (18!/(18- 1 )!/ 1 !)*n 18- 1 +(0 )n 18-2 + (-1) (1/120) (18!/(18- 3 )!/ 3 !)*n 18- 3 +(0)n 18-4 +(1/252) (18 !/(18- 5 )!/ 5 !)*n 18- 5 +(0)n 18-6 + (-1) (1/240) (18!/(18- 7 )!/ 7 !)* n 18- 7 +(0)n 18-8 +(1/132) (18!/(18- 9 )!/ 9 !)*n 18- 9 +(0)n 18-10 + (-1) (691/32760) (18!/(18- 11 )!/ 11 !)*n 18- 11 +(0)n 18-12 +(1/12) (18!/(18- 13 )!/ 13 !)*n 18- 13 +(0)n 18-14 + (-1) (3617/8160) (18!/(18- 15 )!/ 15 !)*n 18- 15 +(0)n 18 -16 +(43867/14364) (18!/(18- 17 )!/ 17 !)*n 18- 17 +(0)n 18-18
ζ(-17) = 1 +17 + 2 +17 + 3 +17 + . + n +17 = π -17 * 2 -18 / (-18) ! * (±(-18)!)(0) - (43867/14364) + (-1) (-(-1)!) ((17)!/(17- (-1) )!/ ( -1) !)*n 17- (-1) + (1/2) *n 17-0 +(1/12) (17!/(17- 1 )!/ 1 !)*n 17- 1 + (0)n 17-2 + (-1) (1/120) (17!/(17- 3 )!/ 3 !)*n 17- 3 +(0)n 17-4 +(1/252) (17!/(17- 5 )!/ 5 !)*n 17- 5 +(0)n 17-6 + (-1) (1/240) (17!/(17- 7 )!/ 7 ! )*n 17- 7 +(0)n 17-8 +(1/132) (17!/(17- 9 )!/ 9 !)*n 17- 9 +(0)n 17-10 + (- 1) (691/32760) (17!/(17- 11 )!/ 11 !)*n 17- 11 +(0)n 17-12 +(1/12) (17!/(17- 13 )! / 13 !)*n 17- 13 +(0)n 17-14 + (-1) (3617/8160) (17!/(17- 15 )!/ 15 !)*n 17- 15 +(0) n 17-16 +(43867/14364) (17!/(17- 17 )!/ 17 !)*n 17- 17
ζ(-16) = 1 +16 + 2 +16 + 3 +16 + . + n +16 = π -16 * 2 -17 / (-17) ! * (±(-17)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((16)!/(16- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 16- (-1) + (1/2) *n 16-0 +(1/12) (16!/(16- 1 )!/ 1 !)*n 16- 1 +(0 )n 16-2 + (-1) (1/120) (16!/(16- 3 )!/ 3 !)*n 16- 3 +(0)n 16-4 +(1/252) (16 !/(16- 5 )!/ 5 !)*n 16- 5 +(0)n 16-6 + (-1) (1/240) (16!/(16- 7 )!/ 7 !)* n 16- 7 +(0)n 16-8 +(1/132) (16!/(16- 9 )!/ 9 !)*n 16- 9 +(0)n 16-10 + (-1) (691/32760) (16!/(16- 11 )!/ 11 !)*n 16- 11 +(0)n 16-12 +(1/12) (16!/(16- 13 )!/ 13 !)*n 16- 13 +(0)n 16-14 + (-1) (3617/8160) (16!/(16- 15 )!/ 15 !)*n 16- 15 +(0)n 16 -16
ζ(-15) = 1 +15 + 2 +15 + 3 +15 + . + n +15 = π -15 * 2 -16 / (-16) ! * (±(-16)!)(0) - (-1) (3617/8160) + (-1) (-(-1)!) ((15)!/(15- (-1) )!/ (-1) !)*n 15- (-1) + (1/2) *n 15-0 +(1/12) (15!/(15- 1 )!/ 1 !)*n 15- 1 +(0)n 15-2 + (-1) (1/120) (15!/(15- 3 )!/ 3 !)*n 15- 3 +(0)n 15-4 +( 1/252) (15!/(15- 5 )!/ 5 !)*n 15- 5 +(0)n 15-6 + (-1) (1/240) (15!/(15- 7 ) !/ 7 !)*n 15- 7 +(0)n 15-8 +(1/132) (15!/(15- 9 )!/ 9 !)*n 15- 9 +(0)n 15- 10 + (-1) (691/32760) (15!/(15- 11 )!/ 11 !)*n 15- 11 +(0)n 15-12 +(1/12) (15!/(15 - 13 )!/ 13 !)*n 15- 13 +(0)n 15-14 + (-1) (3617/8160) (15!/(15- 15 )!/ 15 !)*n 15- 15
ζ(-14) = 1 +14 + 2 +14 + 3 +14 + . + n +14 = π -14 * 2 -15 / (-15) ! * (±(-15)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((14)!/(14- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 14- (-1) + (1/2) *n 14-0 +(1/12) (14!/(14- 1 )!/ 1 !)*n 14- 1 +(0 )n 14-2 + (-1) (1/120) (14!/(14- 3 )!/ 3 !)*n 14- 3 +(0)n 14-4 +(1/252) (14 !/(14- 5 )!/ 5 !)*n 14- 5 +(0)n 14-6 + (-1) (1/240) (14!/(14- 7 )!/ 7 !)* n 14- 7 +(0)n 14-8 +(1/132) (14!/(14- 9 )!/ 9 !)*n 14- 9 +(0)n 14-10 + (-1) (691/32760) (14!/(14- 11 )!/ 11 !)*n 14- 11 +(0)n 14-12 +(1/12) (14!/(14- 13 )!/ 13 !)*n 14- 13 +(0)n 14-14
ζ(-13) = 1 +13 + 2 +13 + 3 +13 + . + n +13 = π -13 * 2 -14 / (-14) ! * (±(-14)!)(0) - (1/12) + (-1) (-(-1)!) ((13)!/(13- (-1) )!/ ( -1) !)*n 13- (-1) + (1/2) *n 13-0 +(1/12) (13!/(13- 1 )!/ 1 !)*n 13- 1 + (0)n 13-2 + (-1) (1/120) (13!/(13- 3 )!/ 3 !)*n 13- 3 +(0)n 13-4 +(1/252) (13!/(13- 5 )!/ 5 !)*n 13- 5 +(0)n 13-6 + (-1) (1/240) (13!/(13- 7 )!/ 7 ! )*n 13- 7 +(0)n 13-8 +(1/132) (13!/(13- 9 )!/ 9 !)*n 13- 9 +(0)n 13-10 + (- 1) (691/32760) (13!/(13- 11 )!/ 11 !)*n 13- 11 +(0)n 13-12 +(1/12) (13!/(13- 13 )! / 13 !)*n 13- 13
ζ(-12) = 1 +12 + 2 +12 + 3 +12 + . + n +12 = π -12 * 2 -13 / (-13) ! * (±(-13)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((12)!/(12- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 12- (-1) + (1/2) *n 12-0 +(1/12) (12!/(12- 1 )!/ 1 !)*n 12- 1 +(0 )n 12-2 + (-1) (1/120) (12!/(12- 3 )!/ 3 !)*n 12- 3 +(0)n 12-4 +(1/252) (12 !/(12- 5 )!/ 5 !)*n 12- 5 +(0)n 12-6 + (-1) (1/240) (12!/(12- 7 )!/ 7 !)* n 12- 7 +(0)n 12-8 +(1/132) (12!/(12- 9 )!/ 9 !)*n 12- 9 +(0)n 12-10 + (-1) (691/32760) (12!/(12- 11 )!/ 11 !)*n 12- 11 +(0)n 12-12 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (105n 10 +525n 9 +525n 8 -1050n 7 -1190n 6 +2310n 5 +1420n 4 -3285n 3 -287n 2 +2073n-691) /455
ζ(-11) = 1 +11 + 2 +11 + 3 +11 + . + n +11 = π -11 * 2 -12 / (-12) ! * (±(-12)!)(0) - (-1) (691/32760) + (-1) (-(-1)!) ((11)!/(11- (-1) )!/ (-1) !)*n 11- (-1) + (1/2) *n 11-0 +(1/12) (11!/(11- 1 )!/ 1 !)*n 11- 1 +(0)n 11-2 + (-1) (1/120) (11!/(11- 3 )!/ 3 !)*n 11- 3 +(0)n 11-4 +( 1/252) (11!/(11- 5 )!/ 5 !)*n 11- 5 +(0)n 11-6 + (-1) (1/240) (11!/(11- 7 ) !/ 7 !)*n 11- 7 +(0)n 11-8 +(1/132) (11!/(11- 9 )!/ 9 !)*n 11- 9 +(0)n 11- 10 + (-1) (691/32760) (11!/(11- 11 )!/ 11 !)*n 11- 11 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 8 +8n 7 +4n 6 -16n 5 -5n 4 +26n 3 -3n 2 -20n+10)/6
ζ(-10) = 1 +10 + 2 +10 + 3 +10 + . + n +10 = π -10 * 2 -11 / (-11) ! * (±(-11)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((10)!/(10- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 10- (-1) + (1/2) *n 10-0 +(1/12) (10!/(10- 1 )!/ 1 !)*n 10- 1 +(0 )n 10-2 + ​​(-1) (1/120) (10!/(10- 3 )!/ 3 !)*n 10- 3 +(0)n 10-4 +(1/252) (10 !/(10- 5 )!/ 5 !)*n 10- 5 +(0)n 10-6 + (-1) (1/240) (10!/(10- 7 )!/ 7 !)* n 10- 7 +(0)n 10-8 +(1/132) (10!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 10- 9 +(0)n 10-10 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (n 2 +n-1) * (3n 6 +9n 5 +2n 4 -11n 3 +3n 2 +10n-5)/11
ζ(-9) = 1 +9 + 2 +9 + 3 +9 + . + n +9 = π -9 * 2 -10 / (-10) ! * (±(-10)!)(0) - (1/132) + (-1) (-(-1)!) (( 9)!/( 9- (-1) )!/ ( -1) !)*n 9- (-1) + (1/2) *n 9-0 +(1/12) ( 9!/( 9- 1 )!/ 1 !)*n 9- 1 + (0)n 9-2 + (-1) (1/120) ( 9!/( 9- 3 )!/ 3 !)*n 9- 3 +(0)n 9-4 +(1/252) ( 9!/( 9- 5 )!/ 5 !)*n 9- 5 +(0)n 9-6 + (-1) (1/240) ( 9!/( 9- 7 )!/ 7 ! )*n 9- 7 +(0)n 9-8 +(1/132) ( 9!/( 9- 9 )!/ 9 !)*n 9- 9 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (n 2 +n-1) * (2n 4 +4n 3 -n 2 -3n+3)/5
ζ(-8) = 1 +8 + 2 +8 + 3 +8 + . + n +8 = π -8 * 2 -9 / (-9 ) ! * (±(-9 )!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 8)!/( 8- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 8- (-1) + (1/2) *n 8-0 +(1/12) ( 8!/( 8- 1 )!/ 1 !)*n 8- 1 +(0 )n 8-2 + (-1) (1/120) ( 8!/( 8- 3 )!/ 3 !)*n 8- 3 +(0)n 8-4 +(1/252) ( 8 !/( 8- 5 )!/ 5 !)*n 8- 5 +(0)n 8-6 + (-1) (1/240) ( 8!/( 8- 7 )!/ 7 !)* n 8- 7 +(0)n 8-8 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (5n 6 +15n 5 +5n 4 -15n 3 -n 2 +9n-3)/15
ζ(-7) = 1 +7 + 2 +7 + 3 +7 + . + n +7 = π -7 * 2 -8 / (-8 ) ! * (±(-8 )!)(0) - (-1) (1/240) + (-1) (-(-1)!) (( 7)!/( 7- (-1) )!/ (-1) !)*n 7- (-1) + (1/2) *n 7-0 +(1/12) ( 7!/( 7- 1 )!/ 1 !)*n 7- 1 +(0)n 7-2 + (-1) (1/120) ( 7!/( 7- 3 )!/ 3 !)*n 7- 3 +(0)n 7-4 +( 1/252) ( 7!/( 7- 5 )!/ 5 !)*n 7- 5 +(0)n 7-6 + (-1) (1/240) ( 7!/( 7- 7 ) !/ 7 !)*n 7- 7 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (3n 4 + 6n 3 -n 2 -4n-2)/6
ζ(-6) = 1 +6 + 2 +6 + 3 +6 + . + n +6 = π -6 * 2 -7 / (-7 ) ! * (±(-7 )!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 6)!/( 6- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 6- (-1) + (1/2) *n 6-0 +(1/12) ( 6!/( 6- 1 )!/ 1 !)*n 6- 1 +(0 )n 6-2 + (-1) (1/120) ( 6!/( 6- 3 )!/ 3 !)*n 6- 3 +(0)n 6-4 +(1/252) ( 6 !/( 6- 5 )!/ 5 !)*n 6- 5 +(0)n 6-6 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n 4 + 6n 3 -3n+1)/7
ζ(-5) = 1 +5 + 2 +5 + 3 +5 + . + n +5 = π -5 * 2 -6 / (-6 ) ! * (±(-6 )!)(0) - (1/252) + (-1) (-(-1)!) (( 5)!/( 5- (-1) )!/ ( -1) !)*n 5- (-1) + (1/2) *n 5-0 +(1/12) ( 5!/( 5- 1 )!/ 1 !)*n 5- 1 + (0)n 5-2 + (-1) (1/120) ( 5!/( 5- 3 )!/ 3 !)*n 5- 3 +(0)n 5-4 +(1/252) ( 5!/( 5- 5 )!/ 5 !)*n 5- 5 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 2 + 2n-1)/3
ζ(-4) = 1 +4 + 2 +4 + 3 +4 + . + n +4 = π -4 * 2 -5 / (-5 ) ! * (±(-5 )!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 4)!/( 4- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 4- (-1) + (1/2) *n 4-0 +(1/12) ( 4!/( 4- 1 )!/ 1 !)*n 4- 1 +(0 )n 4-2 + (-1) (1/120) ( 4!/( 4- 3 )!/ 3 !)*n 4- 3 +(0)n 4-4 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n 2 + 3n-1)/5
ζ(-3) = 1 +3 + 2 +3 + 3 +3 + . + n +3 = π -3 * 2 -4 / (-4 ) ! * (±(-4 )!)(0) - (-1) (1/120) + (-1) (-(-1)!) (( 3)!/( 3- (-1) )!/ (-1) !)*n 3- (-1) + (1/2) *n 3-0 +(1/12) ( 3!/( 3- 1 )!/ 1 !)*n 3- 1 +(0)n 3-2 + (-1) (1/120) ( 3!/( 3- 3 )!/ 3 !)*n 3- 3 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2
ζ(-2) = 1 +2 + 2 +2 + 3 +2 + . +n+2 = π -2 * 2 -3 / (-3 ) ! * (±(-3 )!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 2)!/( 2- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 2- (-1) + (1/2) *n 2-0 +(1/12) ( 2!/( 2- 1 )!/ 1 !)*n 2- 1 +(0 )n 2-2 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3
ζ(-1) = 1 +1 + 2 +1 + 3 +1 + . + n+1 = π -1 * 2 -2 / (-2 ) ! * (±(-2 )!)(0) - (1/12) + (-1) (-(-1)!) (( 1)!/( 1- (-1) )!/ ( -1) !)*n 1- (-1) + (1/2) *n 1-0 +(1/12) ( 1!/( 1- 1 )!/ 1 !)*n 1- 1 = n(n+1)/2
ζ( 0) = 1 0 + 2 0 + 3 0 + . + n 0 = π 0 * (2 -1 ) / (-1 ) ! * (-(-1 )!) - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 0)!/( 0- (-1) )!/ (-1) !)*n 0- (-1) + (1/2) *n 0-0 = n
ζ(+1) = 1 -1 + 2 -1 + 3 -1 + . + n -1 = π +1 * 2 0 / ( 0 ) ! * (0) - (-1) (-(-1 )!) + (-1) (-(-1)!) ((-1)!/(-1- (-1) )!/ (- 1) !)*n -1- (-1) + ln(n+1)-1/(2n+2)+0,577215664901532860651209008240243104215933593992359880576723488486772677766467093694 . A001620
ζ(+2) = 1 -2 + 2 -2 + 3 -2 + . = π +2 * 2 +1 / ( 1 ) ! * (1/12) - (±(-2 )!)(0) = π 2 / 6 = 1.64493406684822643647241516664602518921894990120679843773555822937000747040320087383362890061975870 . A013661
ζ(+3) = 1 -3 + 2 -3 + 3 -3 + . = π +3 * 2 +2 / ( 2 ) ! * (0) - (±(-3 )!)(0) + . = π 3/25.7943501666186840185586365793965132900509523271312260706140213406494349134925061412251 . A308637 = 1.20205690315959428539973816151144999076498629234049888179227155534183820578631309018645587360933525. A002117
ζ(+4) = 1 -4 + 2 -4 + 3 -4 + . = π +4 * 2 +3 / ( 3 ) ! * (1/120) - (±(-4 )!)(0) = π 4 / 90 = 1.08232323371113819151600369654116790277475095191872690768297621544412061618696884655690963594169991 . A013662
ζ(+5) = 1 -5 + 2 -5 + 3 -5 + . = π +5 * 2 +4 / ( 4 ) ! * (0) - (-1) (±(-5 )!)(0) + . = π 5/295.121509929078814295416301676822594619632418745885100174880081881222512573492113833455 . A309926 = 1.03692775514336992633136548645703416805708091950191281197419267790380358978628148456004310655713333 . A013663
ζ(+6) = 1 -6 + 2 -6 + 3 -6 + . = π +6 * 2 +5 / ( 5 ) ! * (1/252) - (±(-6 )!)(0) = π 6 / 945 = 1.01734306198444913971451792979092052790181749003285356184240866400433218290195789788277397793853517 . A013664
ζ(+7) = 1 -7 + 2 -7 + 3 -7 + . = π +7 * 2 +6 / ( 6 ) ! * (0) - (±(-7 )!)(0) + . = π 7/2995.28476444062987421457140194123586447237619811128862116034993083589922581051107464452 . A309927 = 1.00834927738192282683979754984979675959986356056523870641728313657160147831735573534609696891385132 . A013665
ζ(+8) = 1 -8 + 2 -8 + 3 -8 + . = π +8 * 2 +7 / ( 7 ) ! * (1/240) - (±(-8 )!)(0) = π 8 / 9450 = 1.00407735619794433937868523850865246525896079064985002032911020265258295257474881439528723037237197 . A013666
ζ(+9) = 1 -9 + 2 -9 + 3 -9 + . = π +9 * 2 +8 / ( 8 ) ! * (0) - (-1) (±(-9 )!)(0) + . = π 9/29749.3509504167924732263575439992360954535708605981514652679131630981776684624977358377 . A309928 = 1.00200839282608221441785276923241206048560585139488875654859661590978505339025839895039306912716958 . A013667
ζ(+10) = 1 -10 + 2 -10 + 3 -10 + . = π +10 * 2 +9 / ( 9 ) ! * (1/132) - (±(-10)!)(0) = π 10 / 93555 = 1.00099457512781808533714595890031901700601953156447751725778899463629146515191295439704196861038565 . A013668
ζ(+11) = 1 -11 + 2 -11 + 3 -11 + . = π +11 * 2 +10 / ( 10) ! * (0) - (±(-11)!)(0) + . = π 11/294058.697516635663068056032177491189612189560972448164117512566969938747449053262053487 . A309929 = 1.00049418860411946455870228252646993646860643575820861711914143610005405979821981470259184302356062 . A013669
ζ(+12) = 1 -12 + 2 -12 + 3 -12 + . = π +12 * 2 +11 / ( 11) ! * (691/32760) - (±(-12)!)(0) = π 12 * 691 / 638512875 = 1.00024608655330804829863799804773967096041608845800340453304095213325201968194091304904280855190069 . A013670
ζ(+13) = 1 -13 + 2 -13 + 3 -13 + . = π +13 * 2 +12 / ( 12) ! * (0) - (-1) (±(-13)!)(0) + . = π 13/2903320.99437496874471612902548598299518022850873348106519286211097791175125276089735094 . Pas d'OEIS = 1.00012271334757848914675183652635739571427510589550984513670267162089672682984420981289271395326813 . A013671
ζ(+14) = 1 -14 + 2 -14 + 3 -14 + . = π +14 * 2 +13 / ( 13) ! * (1/12) - (±(-14)!)(0) = π 14 * 2 / 18243225 = 1.00006124813505870482925854510513533374748169616915454948275520225286294102317742087665978297199846 . A013672
ζ(+15) = 1 -15 + 2 -15 + 3 -15 + . = π +15 * 2 +14 / ( 14) ! * (0) - (±(-15)!)(0) + . = π 15/28657269.3940598590044202589379919803466424134329335109381917049703719697921088276545668 . Pas d'OEIS = 1.00003058823630702049355172851064506258762794870685817750656993289333226715634227957307233434701754. A013673
ζ(+16) = 1 -16 + 2 -16 + 3 -16 + . = π +16 * 2 +15 / ( 15) ! * (3617/8160) - (±(-16)!)(0) = π 16 * 3617 / 325641566250 = 1.00001528225940865187173257148763672202323738899047153115310520358878708702795315178628560484632246 . A013674
ζ(+17) = 1 -17 + 2 -17 + 3 -17 + . = π +17 * 2 +16 / ( 16) ! * (0) - (-1) (±(-17)!)(0) + . = π 17 / 282842403.463197426131307236264129094363182272952265735576995225855515620331164084358670 . Pas d'OEIS = 1.00000763719763789976227360029356302921308824909026267909537984397293564329028245934208173863691667 . A013675
ζ(+18) = 1 -18 + 2 -18 + 3 -18 + . = π +18 * 2 +17 / ( 17) ! * (43867/14364) - (±(-18)!)(0) = π 18 * 43867 / 38979295480125 = 1.00000381729326499983985646164462193973045469721895333114317442998763003954265004563800196866898964 . A013676
ζ(+19) = 1 -19 + 2 -19 + 3 -19 + . = π +19 * 2 +18 / ( 18) ! * (0) - (±(-19)!)(0) + . = π 19/2791558622.71018270391989516441857455178217039199704213989473442616757883445034218379359 . Pas d'OEIS = 1.00000190821271655393892565695779510135325857114483863023593304676182394970534130931266422711807630 . A013677
ζ(+20) = 1 -20 + 2 -20 + 3 -20 + . = π +20 * 2 +19 / ( 19) ! * (174611/6600) - (±(-20)!)(0) = π 20 * 174611 / 1531329465290625 = 1.000000953962033872796113152038683449345943794187410595750056489885113751373114390025783609797638747 . A013678

Tableau des fonctions Eta (mode avancé)

[Vixra] [PDF] Mon courriel : [email protected]

Voici ma Tableau des modes avancés :

η(-20) = 1 +20 - 2 +20 + 3 +20 - . ± n +20 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 20-0 +(1/4) (20!/(20- 1 )!/ 1 !)*n 20- 1 +(0)n 20-2 + ​​(-1) (1/8) (20!/(20- 3 )!/ 3 !)*n 20- 3 +(0)n 20-4 + (1/ 4) (20!/(20- 5 )!/ 5 !)*n 20- 5 +(0)n 20-6 + (-1) (17/16) (20!/(20- 7 )!/ 7 !)*n 20- 7 +(0)n 20-8 + (31/4) (20!/(20- 9 )!/ 9 !)*n 20- 9 +(0)n 20-10 + (-1) (691/8) (20!/(20- 11 )!/ 11 !)*n 20- 11 +(0)n 20-12 + (5461/4) (20!/(20- 13 )!/ 13 !)*n 20- 13 +(0)n 20-14 + (-1) (929569/32) (20!/(20- 15 )!/ 15 !)*n 20- 15 +( 0)n 20-16 + (3202291/4) (20!/(20- 17 )!/ 17 !)*n 20- 17 +(0)n 20-18 + (-1) (221930581/8) ( 20!/(20- 19 )!/ 19 !)*n 20- 19 +(0)n 20-20 ]
η(-19) = 1 +19 - 2 +19 + 3 +19 - . ± n +19 = (-1) (221930581/8) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 19-0 +(1/4) (19!/(19- 1 )!/ 1 !)*n 19- 1 +(0)n 19-2 + (-1) (1/8) (19!/(19- 3 )!/ 3 !)*n 19- 3 +(0)n 19 -4 + (1/4) (19!/(19- 5 )!/ 5 !)*n 19- 5 +(0)n 19-6 + (-1) (17/16) (19!/( 19- 7 )!/ 7 !)*n 19- 7 +(0)n 19-8 + (31/4) (19!/(19- 9 )!/ 9 !)*n 19- 9 +(0 )n 19-10 + (-1) (691/8) (19!/(19- 11 )!/ 11 !)*n 19- 11 +(0)n 19-12 + (5461/4) (19 !/(19- 13 )!/ 13 !)*n 19- 13 +(0)n 19-14 + (-1) (929569/32) (19!/(19- 15 )!/ 15 !)* n 19- 15 +(0)n 19-16 + (3202291/4) (19!/(19- 17 )!/ 17 !)*n 19- 17 +(0)n 19-18 + (-1) (221930581/8) (19!/(19- 19 )!/ 19 !)*n 19- 19 ]
η(-18) = 1 +18 - 2 +18 + 3 +18 - . ± n +18 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 18-0 +(1/4) (18!/(18- 1 )!/ 1 !)*n 18- 1 +(0)n 18-2 + (-1) (1/8) (18!/(18- 3 )!/ 3 !)*n 18- 3 +(0)n 18-4 + (1/ 4) (18!/(18- 5 )!/ 5 !)*n 18- 5 +(0)n 18-6 + (-1) (17/16) (18!/(18- 7 )!/ 7 !)*n 18- 7 +(0)n 18-8 + (31/4) (18!/(18- 9 )!/ 9 !)*n 18- 9 +(0)n 18-10 + (-1) (691/8) (18!/(18- 11 )!/ 11 !)*n 18- 11 +(0)n 18-12 + (5461/4) (18!/(18- 13 )!/ 13 !)*n 18- 13 +(0)n 18-14 + (-1) (929569/32) (18!/(18- 15 )!/ 15 !)*n 18- 15 +( 0)n 18-16 + (3202291/4) (18!/(18- 17 )!/ 17 !)*n 18- 17 +(0)n 18-18 ]
η(-17) = 1 +17 - 2 +17 + 3 +17 - . ± n +17 = (3202291/4) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 17-0 +(1/4) (17!/(17- 1 )!/ 1 !)*n 17- 1 +(0)n 17-2 + (-1) (1/8) (17!/(17- 3 )!/ 3 !)*n 17- 3 +(0)n 17-4 + ( 1/4) (17!/(17- 5 )!/ 5 !)*n 17- 5 +(0)n 17-6 + (-1) (17/16) (17!/(17- 7 ) !/ 7 !)*n 17- 7 +(0)n 17-8 + (31/4) (17!/(17- 9 )!/ 9 !)*n 17- 9 +(0)n 17- 10 + (-1) (691/8) (17!/(17- 11 )!/ 11 !)*n 17- 11 +(0)n 17-12 + (5461/4) (17!/(17 - 13 )!/ 13 !)*n 17- 13 +(0)n 17-14 + (-1) (929569/32) (17!/(17- 15 )!/ 15 !)*n 17- 15 +(0)n 17-16 + (3202291/4) (17!/(17- 17 )!/ 17 !)*n 17- 17 ]
η(-16) = 1 +16 - 2 +16 + 3 +16 - . ± n +16 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 16-0 +(1/4) (16!/(16- 1 )!/ 1 !)*n 16- 1 +(0)n 16-2 + (-1) (1/8) (16!/(16- 3 )!/ 3 !)*n 16- 3 +(0)n 16-4 + (1/ 4) (16!/(16- 5 )!/ 5 !)*n 16- 5 +(0)n 16-6 + (-1) (17/16) (16!/(16- 7 )!/ 7 !)*n 16- 7 +(0)n 16-8 + (31/4) (16!/(16- 9 )!/ 9 !)*n 16- 9 +(0)n 16-10 + (-1) (691/8) (16!/(16- 11 )!/ 11 !)*n 16- 11 +(0)n 16-12 + (5461/4) (16!/(16- 13 )!/ 13 !)*n 16- 13 +(0)n 16-14 + (-1) (929569/32) (16!/(16- 15 )!/ 15 !)*n 16- 15 +( 0)n 16-16 ]
η(-15) = 1 +15 - 2 +15 + 3 +15 - . ± n +15 = (-1) (929569/32) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 15-0 +(1/4) (15!/(15- 1 )!/ 1 !)*n 15- 1 +(0)n 15-2 + (-1) (1/8) (15!/(15- 3 )!/ 3 !)*n 15- 3 +(0)n 15 -4 + (1/4) (15!/(15- 5 )!/ 5 !)*n 15- 5 +(0)n 15-6 + (-1) (17/16) (15!/( 15- 7 )!/ 7 !)*n 15- 7 +(0)n 15-8 + (31/4) (15!/(15- 9 )!/ 9 !)*n 15- 9 +(0 )n 15-10 + (-1) (691/8) (15!/(15- 11 )!/ 11 !)*n 15- 11 +(0)n 15-12 + (5461/4) (15 !/(15- 13 )!/ 13 !)*n 15- 13 +(0)n 15-14 + (-1) (929569/32) (15!/(15- 15 )!/ 15 !)* n 15-15 ]
η(-14) = 1 +14 - 2 +14 + 3 +14 - . ± n +14 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 14-0 +(1/4) (14!/(14- 1 )!/ 1 !)*n 14- 1 +(0)n 14-2 + (-1) (1/8) (14!/(14- 3 )!/ 3 !)*n 14- 3 +(0)n 14-4 + (1/ 4) (14!/(14- 5 )!/ 5 !)*n 14- 5 +(0)n 14-6 + (-1) (17/16) (14!/(14- 7 )!/ 7 !)*n 14- 7 +(0)n 14-8 + (31/4) (14!/(14- 9 )!/ 9 !)*n 14- 9 +(0)n 14-10 + (-1) (691/8) (14!/(14- 11 )!/ 11 !)*n 14- 11 +(0)n 14-12 + (5461/4) (14!/(14- 13 )!/ 13 !)*n 14- 13 +(0)n 14-14 ]
η(-13) = 1 +13 - 2 +13 + 3 +13 - . ± n +13 = (5461/4) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 13-0 +(1/4) (13!/(13- 1 )!/ 1 !)*n 13- 1 +(0)n 13-2 + (-1) (1/8) (13!/(13- 3 )!/ 3 !)*n 13- 3 +(0)n 13-4 + ( 1/4) (13!/(13- 5 )!/ 5 !)*n 13- 5 +(0)n 13-6 + (-1) (17/16) (13!/(13- 7 ) !/ 7 !)*n 13- 7 +(0)n 13-8 + (31/4) (13!/(13- 9 )!/ 9 !)*n 13- 9 +(0)n 13- 10 + (-1) (691/8) (13!/(13- 11 )!/ 11 !)*n 13- 11 +(0)n 13-12 + (5461/4) (13!/(13 - 13 )!/ 13 !)*n 13- 13 ]
η(-12) = 1 +12 - 2 +12 + 3 +12 - . ± n +12 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 12-0 +(1/4) (12!/(12- 1 )!/ 1 !)*n 12- 1 +(0)n 12-2 + (-1) (1/8) (12!/(12- 3 )!/ 3 !)*n 12- 3 +(0)n 12-4 + (1/ 4) (12!/(12- 5 )!/ 5 !)*n 12- 5 +(0)n 12-6 + (-1) (17/16) (12!/(12- 7 )!/ 7 !)*n 12- 7 +(0)n 12-8 + (31/4) (12!/(12- 9 )!/ 9 !)*n 12- 9 +(0)n 12-10 + (-1) (691/8) (12!/(12- 11 )!/ 11 !)*n 12- 11 +(0)n 12-12 ]
η(-11) = 1 +11 - 2 +11 + 3 +11 - . ± n +11 = (-1) (691/8) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 11-0 +(1/4) (11!/(11- 1 )!/ 1 !)*n 11- 1 +(0)n 11-2 + (-1) (1/8) (11!/(11- 3 )!/ 3 !)*n 11- 3 +(0)n 11 -4 + (1/4) (11!/(11- 5 )!/ 5 !)*n 11- 5 +(0)n 11-6 + (-1) (17/16) (11!/( 11- 7 )!/ 7 !)*n 11- 7 +(0)n 11-8 + (31/4) (11!/(11- 9 )!/ 9 !)*n 11- 9 +(0 )n 11-10 + (-1) (691/8) (11!/(11- 11 )!/ 11 !)*n 11- 11 ]
η(-10) = 1 +10 - 2 +10 + 3 +10 - . ± n +10 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 10-0 +(1/4) (10!/(10- 1 )!/ 1 !)*n 10- 1 +(0)n 10-2 + ​​(-1) (1/8) (10!/(10- 3 )!/ 3 !)*n 10- 3 +(0)n 10-4 + (1/ 4) (10!/(10- 5 )!/ 5 !)*n 10- 5 +(0)n 10-6 + (-1) (17/16) (10!/(10- 7 )!/ 7 !)*n 10- 7 +(0)n 10-8 + (31/4) (10!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 10- 9 +(0)n 10-10 ]
η(-9) = 1 +9 - 2 +9 + 3 +9 - . ± n +9 = (31/4) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 9-0 +(1/4) ( 9!/( 9- 1 )!/ 1 !)*n 9- 1 +(0)n 9-2 + (-1) (1/8) ( 9!/( 9- 3 )!/ 3 !)*n 9- 3 +(0)n 9-4 + ( 1/4) ( 9!/( 9- 5 )!/ 5 !)*n 9- 5 +(0)n 9-6 + (-1) (17/16) ( 9!/( 9- 7 ) !/ 7 !)*n 9- 7 +(0)n 9-8 + (31/4) ( 9!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 9- 9 ]
η(-8) = 1 +8 - 2 +8 + 3 +8 - . ± n +8 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 8-0 +(1/4) ( 8!/( 8- 1 )!/ 1 !)*n 8- 1 +(0)n 8-2 + (-1) (1/8) ( 8!/( 8- 3 )!/ 3 !)*n 8- 3 +(0)n 8-4 + (1/ 4) ( 8!/( 8- 5 )!/ 5 !)*n 8- 5 +(0)n 8-6 + (-1) (17/16) ( 8!/( 8- 7 )!/ 7 !)*n 8- 7 +(0)n 8-8 ]
η(-7) = 1 +7 - 2 +7 + 3 +7 - . ± n +7 = (-1) (17/16) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 7-0 +(1/4) ( 7!/( 7- 1 )!/ 1 !)*n 7- 1 +(0)n 7-2 + (-1) (1/8) ( 7!/( 7- 3 )!/ 3 !)*n 7- 3 +(0)n 7 -4 + (1/4) ( 7!/( 7- 5 )!/ 5 !)*n 7- 5 +(0)n 7-6 + (-1) (17/16) ( 7!/( 7- 7 )!/ 7 !)*n 7- 7 ]
η(-6) = 1 +6 - 2 +6 + 3 +6 - . ± n +6 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 6-0 +(1/4) ( 6!/( 6- 1 )!/ 1 !)*n 6- 1 +(0)n 6-2 + (-1) (1/8) ( 6!/( 6- 3 )!/ 3 !)*n 6- 3 +(0)n 6-4 + (1/ 4) ( 6!/( 6- 5 )!/ 5 !)*n 6- 5 +(0)n 6-6 ]
η(-5) = 1 +5 - 2 +5 + 3 +5 - . ± n +5 = (1/4) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 5-0 +(1/4) ( 5!/( 5- 1 )!/ 1 !)*n 5- 1 +(0)n 5-2 + (-1) (1/8) ( 5!/( 5- 3 )!/ 3 !)*n 5- 3 +(0)n 5-4 + ( 1/4) ( 5!/( 5- 5 )!/ 5 !)*n 5- 5 ]
η(-4) = 1 +4 - 2 +4 + 3 +4 - . ± n +4 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 4-0 +(1/4) ( 4!/( 4- 1 )!/ 1 !)*n 4- 1 +(0)n 4-2 + (-1) (1/8) ( 4!/( 4- 3 )!/ 3 !)*n 4- 3 +(0)n 4-4 ]
η(-3) = 1 +3 - 2 +3 + 3 +3 - . ± n +3 = (-1) (1/8) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 3-0 +(1/4) ( 3!/( 3- 1 )!/ 1 !)*n 3- 1 +(0)n 3-2 + (-1) (1/8) ( 3!/( 3- 3 )!/ 3 !)*n 3- 3 ]
η(-2) = 1 +2 - 2 +2 + 3 +2 - . ± n+2 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 2-0 +(1/4) ( 2!/( 2- 1 )!/ 1 !)*n 2- 1 +(0)n 2-2 ]
η(-1) = 1 +1 - 2 +1 + 3 +1 - . ± n+1 = (1/4) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 1-0 +(1/4) ( 1!/( 1- 1 )!/ 1 !)*n 1- 1 ]
η( 0) = 1 0 - 2 0 + 3 0 - . ± n 0 = (1/2) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 0-0 ]
η(+1) = 1 -1 - 2 -1 + 3 -1 - . = π +1 * (1-2 0 )/(1-2 +1 ) / ( 0 ) ! * (1/2) + ln(2)
η(+2) = 1 -2 - 2 -2 + 3 -2 - . = π +2 * (1-2 +1 )/(1-2 +2 ) / ( 1 ) ! * (1/4)
η(+3) = 1 -3 - 2 -3 + 3 -3 - . = π +3 * (1-2 +2 )/(1-2 +3 ) / ( 2 ) ! * (0) + .
η(+4) = 1 -4 - 2 -4 + 3 -4 - . = π +4 * (1-2 +3 )/(1-2 +4 ) / ( 3 ) ! * (1/8)
η(+5) = 1 -5 - 2 -5 + 3 -5 - . = π +5 * (1-2 +4 )/(1-2 +5 ) / ( 4 ) ! * (0) + .
η(+6) = 1 -6 - 2 -6 + 3 -6 - . = π +6 * (1-2 +5 )/(1-2 +6 ) / ( 5 ) ! * (1/4)
η(+7) = 1 -7 - 2 -7 + 3 -7 - . = π +7 * (1-2 +6 )/(1-2 +7 ) / ( 6 ) ! * (0) + .
η(+8) = 1 -8 - 2 -8 + 3 -8 - . = π +8 * (1-2 +7 )/(1-2 +8 ) / ( 7 ) ! * (17/16)
η(+9) = 1 -9 - 2 -9 + 3 -9 - . = π +9 * (1-2 +8 )/(1-2 +9 ) / ( 8 ) ! * (0) + .
η(+10) = 1 -10 - 2 -10 + 3 -10 - . = π +10 * (1-2 +9 )/(1-2 +10 ) / ( 9 ) ! * (31/4)
η(+11) = 1 -11 - 2 -11 + 3 -11 - . = π +11 * (1-2 +10 )/(1-2 +11 ) / ( 10) ! * (0) + .
η(+12) = 1 -12 - 2 -12 + 3 -12 - . = π +12 * (1-2 +11 )/(1-2 +12 ) / ( 11) ! * (691/8)
η(+13) = 1 -13 - 2 -13 + 3 -13 - . = π +13 * (1-2 +12 )/(1-2 +13 ) / ( 12) ! * (0) + .
η(+14) = 1 -14 - 2 -14 + 3 -14 - . = π +14 * (1-2 +13 )/(1-2 +14 ) / ( 13) ! * (5461/4)
η(+15) = 1 -15 - 2 -15 + 3 -15 - . = π +15 * (1-2 +14 )/(1-2 +15 ) / ( 14) ! * (0) + .
η(+16) = 1 -16 - 2 -16 + 3 -16 - . = π +16 * (1-2 +15 )/(1-2 +16 ) / ( 15) ! * (929569/32)
η(+17) = 1 -17 - 2 -17 + 3 -17 - . = π +17 * (1-2 +16 )/(1-2 +17 ) / ( 16) ! * (0) + .
η(+18) = 1 -18 - 2 -18 + 3 -18 - . = π +18 * (1-2 +17 )/(1-2 +18 ) / ( 17) ! * (3202291/4)
η(+19) = 1 -19 - 2 -19 + 3 -19 - . = π +19 * (1-2 +18 )/(1-2 +19 ) / ( 18) ! * (0) + .
η(+20) = 1 -20 - 2 -20 + 3 -20 - . = π +20 * (1-2 +19 )/(1-2 +20 ) / ( 19) ! * (221930581/8)

Tableau des fonctions Eta (mode expérimental)

Voici ma Tableau du mode expérimental :

η(-20) = 1 +20 - 2 +20 + 3 +20 - . ± n +20 = π -20 * (1-2 -21 )/(1-2 -20 ) / (-21) ! * (±(-21)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (20!/(20- (-1) )!/ (-1) !)*n 20- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 20-0 +(1/4) (20!/(20- 1 )!/ 1 !)*n 20- 1 +(0)n 20-2 + ​​(-1) (1/8) (20!/(20- 3 )!/ 3 !)*n 20- 3 +( 0)n 20-4 + (1/4) (20!/(20- 5 )!/ 5 !)*n 20- 5 +(0)n 20-6 + (-1) (17/16) ( 20!/(20- 7 )!/ 7 !)*n 20- 7 +(0)n 20-8 + (31/4) (20!/(20- 9 )!/ 9 !)*n 20- 9 +(0)n 20-10 + (-1) (691/8) (20!/(20- 11 )!/ 11 !)*n 20- 11 +(0)n 20-12 + (5461/ 4) (20!/(20- 13 )!/ 13 !)*n 20- 13 +(0)n 20-14 + (-1) (929569/32) (20!/(20- 15 )!/ 15 !)*n 20- 15 +(0)n 20-16 + (3202291/4) (20!/(20- 17 )!/ 17 !)*n 20- 17 +(0)n 20-18 + (-1) (221930581/8) (20!/(20- 19 )!/ 19 !)*n 20- 19 +(0)n 20-20 ]
η(-19) = 1 +19 - 2 +19 + 3 +19 - . ± n +19 = π -19 * (1-2 -20 )/(1-2 -19 ) / (-20) ! * (±(-20)!)(0) + (-1) (221930581/8) + (-1) (±(-1)!)(0) (19!/(19- ( -1) )!/ (-1) !)*n 19- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 19-0 +(1/4) (19 !/(19- 1 )!/ 1 !)*n 19- 1 +(0)n 19-2 + (-1) (1/8) (19!/(19- 3 )!/ 3 !)* n 19- 3 +(0)n 19-4 + (1/4) (19!/(19- 5 )!/ 5 !)*n 19- 5 +(0)n 19-6 + (-1) (17/16) (19!/(19- 7 )!/ 7 !)*n 19- 7 +(0)n 19-8 + (31/4) (19!/(19- 9 )!/ 9 !)*n 19- 9 +(0)n 19-10 + (-1) (691/8) (19!/(19- 11 )!/ 11 !)*n 19- 11 +(0)n 19 -12 + (5461/4) (19!/(19- 13 )!/ 13 !)*n 19- 13 +(0)n 19-14 + (-1) (929569/32) (19!/( 19- 15 )!/ 15 !)*n 19- 15 +(0)n 19-16 + (3202291/4) (19!/(19- 17 )!/ 17 !)*n 19- 17 +(0 )n 19-18 + (-1) (221930581/8) (19!/(19- 19 )!/ 19 !)*n 19- 19 ]
η(-18) = 1 +18 - 2 +18 + 3 +18 - . ± n +18 = π -18 * (1-2 -19 )/(1-2 -18 ) / (-19) ! * (±(-19)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (18!/(18- (-1) )!/ (-1) !)*n 18- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 18-0 +(1/4) (18!/(18- 1 )!/ 1 !)*n 18- 1 +(0)n 18-2 + (-1) (1/8) (18!/(18- 3 )!/ 3 !)*n 18- 3 +( 0)n 18-4 + (1/4) (18!/(18- 5 )!/ 5 !)*n 18- 5 +(0)n 18-6 + (-1) (17/16) ( 18!/(18- 7 )!/ 7 !)*n 18- 7 +(0)n 18-8 + (31/4) (18!/(18- 9 )!/ 9 !)*n 18- 9 +(0)n 18-10 + (-1) (691/8) (18!/(18- 11 )!/ 11 !)*n 18- 11 +(0)n 18-12 + (5461/ 4) (18!/(18- 13 )!/ 13 !)*n 18- 13 +(0)n 18-14 + (-1) (929569/32) (18!/(18- 15 )!/ 15 !)*n 18- 15 +(0)n 18-16 + (3202291/4) (18!/(18- 17 )!/ 17 !)*n 18- 17 +(0)n 18-18 ]
η(-17) = 1 +17 - 2 +17 + 3 +17 - . ± n +17 = π -17 * (1-2 -18 )/(1-2 -17 ) / (-18) ! * (±(-18)!)(0) + (3202291/4) + (-1) (±(-1)!)(0) (17!/(17- (-1) ) !/ (-1) !)*n 17- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 17-0 +(1/4) (17!/(17 - 1 )!/ 1 !)*n 17- 1 +(0)n 17-2 + (-1) (1/8) (17!/(17- 3 )!/ 3 !)*n 17- 3 +(0)n 17-4 + (1/4) (17!/(17- 5 )!/ 5 !)*n 17- 5 +(0)n 17-6 + (-1) (17/16 ) (17!/(17- 7 )!/ 7 !)*n 17- 7 +(0)n 17-8 + (31/4) (17!/(17- 9 )!/ 9 !)*n 17- 9 +(0)n 17-10 + (-1) (691/8) (17!/(17- 11 )!/ 11 !)*n 17- 11 +(0)n 17-12 + ( 5461/4) (17!/(17- 13 )!/ 13 !)*n 17- 13 +(0)n 17-14 + (-1) (929569/32) (17!/(17- 15 ) !/ 15 !)*n 17- 15 +(0)n 17-16 + (3202291/4) (17!/(17- 17 )!/ 17 !)*n 17- 17 ]
η(-16) = 1 +16 - 2 +16 + 3 +16 - . ± n +16 = π -16 * (1-2 -17 )/(1-2 -16 ) / (-17) ! * (±(-17)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (16!/(16- (-1) )!/ (-1) !)*n 16- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 16-0 +(1/4) (16!/(16- 1 )!/ 1 !)*n 16- 1 +(0)n 16-2 + (-1) (1/8) (16!/(16- 3 )!/ 3 !)*n 16- 3 +( 0)n 16-4 + (1/4) (16!/(16- 5 )!/ 5 !)*n 16- 5 +(0)n 16-6 + (-1) (17/16) ( 16!/(16- 7 )!/ 7 !)*n 16- 7 +(0)n 16-8 + (31/4) (16!/(16- 9 )!/ 9 !)*n 16- 9 +(0)n 16-10 + (-1) (691/8) (16!/(16- 11 )!/ 11 !)*n 16- 11 +(0)n 16-12 + (5461/ 4) (16!/(16- 13 )!/ 13 !)*n 16- 13 +(0)n 16-14 + (-1) (929569/32) (16!/(16- 15 )!/ 15 !)*n 16- 15 +(0)n 16-16 ]
η(-15) = 1 +15 - 2 +15 + 3 +15 - . ± n +15 = π -15 * (1-2 -16 )/(1-2 -15 ) / (-16) ! * (±(-16)!)(0) + (-1) (929569/32) + (-1) (±(-1)!)(0) (15!/(15- ( -1) )!/ (-1) !)*n 15- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 15-0 +(1/4) (15 !/(15- 1 )!/ 1 !)*n 15- 1 +(0)n 15-2 + (-1) (1/8) (15!/(15- 3 )!/ 3 !)* n 15- 3 +(0)n 15-4 + (1/4) (15!/(15- 5 )!/ 5 !)*n 15- 5 +(0)n 15-6 + (-1) (17/16) (15!/(15- 7 )!/ 7 !)*n 15- 7 +(0)n 15-8 + (31/4) (15!/(15- 9 )!/ 9 !)*n 15- 9 +(0)n 15-10 + (-1) (691/8) (15!/(15- 11 )!/ 11 !)*n 15- 11 +(0)n 15 -12 + (5461/4) (15!/(15- 13 )!/ 13 !)*n 15- 13 +(0)n 15-14 + (-1) (929569/32) (15!/( 15- 15 )!/ 15 !)*n 15- 15 ]
η(-14) = 1 +14 - 2 +14 + 3 +14 - . ± n +14 = π -14 * (1-2 -15 )/(1-2 -14 ) / (-15) ! * (±(-15)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (14!/(14- (-1) )!/ (-1) !)*n 14- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 14-0 +(1/4) (14!/(14- 1 )!/ 1 !)*n 14- 1 +(0)n 14-2 + (-1) (1/8) (14!/(14- 3 )!/ 3 !)*n 14- 3 +( 0)n 14-4 + (1/4) (14!/(14- 5 )!/ 5 !)*n 14- 5 +(0)n 14-6 + (-1) (17/16) ( 14!/(14- 7 )!/ 7 !)*n 14- 7 +(0)n 14-8 + (31/4) (14!/(14- 9 )!/ 9 !)*n 14- 9 +(0)n 14-10 + (-1) (691/8) (14!/(14- 11 )!/ 11 !)*n 14- 11 +(0)n 14-12 + (5461/ 4) (14!/(14- 13 )!/ 13 !)*n 14- 13 +(0)n 14-14 ]
η(-13) = 1 +13 - 2 +13 + 3 +13 - . ± n +13 = π -13 * (1-2 -14 )/(1-2 -13 ) / (-14) ! * (±(-14)!)(0) + (5461/4) + (-1) (±(-1)!)(0) (13!/(13- (-1) ) !/ (-1) !)*n 13- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 13-0 +(1/4) (13!/(13 - 1 )!/ 1 !)*n 13- 1 +(0)n 13-2 + (-1) (1/8) (13!/(13- 3 )!/ 3 !)*n 13- 3 +(0)n 13-4 + (1/4) (13!/(13- 5 )!/ 5 !)*n 13- 5 +(0)n 13-6 + (-1) (17/16 ) (13!/(13- 7 )!/ 7 !)*n 13- 7 +(0)n 13-8 + (31/4) (13!/(13- 9 )!/ 9 !)*n 13- 9 +(0)n 13-10 + (-1) (691/8) (13!/(13- 11 )!/ 11 !)*n 13- 11 +(0)n 13-12 + ( 5461/4) (13!/(13- 13 )!/ 13 !)*n 13- 13 ]
η(-12) = 1 +12 - 2 +12 + 3 +12 - . ± n +12 = π -12 * (1-2 -13 )/(1-2 -12 ) / (-13) ! * (±(-13)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (12!/(12- (-1) )!/ (-1) !)*n 12- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 12-0 +(1/4) (12!/(12- 1 )!/ 1 !)*n 12- 1 +(0)n 12-2 + (-1) (1/8) (12!/(12- 3 )!/ 3 !)*n 12- 3 +( 0)n 12-4 + (1/4) (12!/(12- 5 )!/ 5 !)*n 12- 5 +(0)n 12-6 + (-1) (17/16) ( 12!/(12- 7 )!/ 7 !)*n 12- 7 +(0)n 12-8 + (31/4) (12!/(12- 9 )!/ 9 !)*n 12- 9 +(0)n 12-10 + (-1) (691/8) (12!/(12- 11 )!/ 11 !)*n 12- 11 +(0)n 12-12 ]
η(-11) = 1 +11 - 2 +11 + 3 +11 - . ± n +11 = π -11 * (1-2 -12 )/(1-2 -11 ) / (-12) ! * (±(-12)!)(0) + (-1) (691/8) + (-1) (±(-1)!)(0) (11!/(11- ( -1) )!/ (-1) !)*n 11- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 11-0 +(1/4) (11 !/(11- 1 )!/ 1 !)*n 11- 1 +(0)n 11-2 + (-1) (1/8) (11!/(11- 3 )!/ 3 !)* n 11- 3 +(0)n 11-4 + (1/4) (11!/(11- 5 )!/ 5 !)*n 11- 5 +(0)n 11-6 + (-1) (17/16) (11!/(11- 7 )!/ 7 !)*n 11- 7 +(0)n 11-8 + (31/4) (11!/(11- 9 )!/ 9 !)*n 11- 9 +(0)n 11-10 + (-1) (691/8) (11!/(11- 11 )!/ 11 !)*n 11- 11 ]
η(-10) = 1 +10 - 2 +10 + 3 +10 - . ± n +10 = π -10 * (1-2 -11 )/(1-2 -10 ) / (-11) ! * (±(-11)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (10!/(10- (-1) )!/ (-1) !)*n 10- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 10-0 +(1/4) (10!/(10- 1 )!/ 1 !)*n 10- 1 +(0)n 10-2 + ​​(-1) (1/8) (10!/(10- 3 )!/ 3 !)*n 10- 3 +( 0)n 10-4 + (1/4) (10!/(10- 5 )!/ 5 !)*n 10- 5 +(0)n 10-6 + (-1) (17/16) ( 10!/(10- 7 )!/ 7 !)*n 10- 7 +(0)n 10-8 + (31/4) (10!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 10- 9 +(0)n 10-10 ]
η(-9) = 1 +9 - 2 +9 + 3 +9 - . ± n +9 = π -9 * (1-2 -10 )/(1-2 -9 ) / (-10) ! * (±(-10)!)(0) + (31/4) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 9!/( 9- (-1) ) !/ (-1) !)*n 9- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 9-0 +(1/4) ( 9!/( 9 - 1 )!/ 1 !)*n 9- 1 +(0)n 9-2 + (-1) (1/8) ( 9!/( 9- 3 )!/ 3 !)*n 9- 3 +(0)n 9-4 + (1/4) ( 9!/( 9- 5 )!/ 5 !)*n 9- 5 +(0)n 9-6 + (-1) (17/16 ) ( 9!/( 9- 7 )!/ 7 !)*n 9- 7 +(0)n 9-8 + (31/4) ( 9!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 9-9 ]
η(-8) = 1 +8 - 2 +8 + 3 +8 - . ± n +8 = π -8 * (1-2 -9 )/(1-2 -8 ) / (-9 ) ! * (±(-9 )!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 8!/( 8- (-1) )!/ (-1) !)*n 8- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 8-0 +(1/4) ( 8!/( 8- 1 )!/ 1 !)*n 8- 1 +(0)n 8-2 + (-1) (1/8) ( 8!/( 8- 3 )!/ 3 !)*n 8- 3 +( 0)n 8-4 + (1/4) ( 8!/( 8- 5 )!/ 5 !)*n 8- 5 +(0)n 8-6 + (-1) (17/16) ( 8!/( 8- 7 )!/ 7 !)*n 8- 7 +(0)n 8-8 ]
η(-7) = 1 +7 - 2 +7 + 3 +7 - . ± n +7 = π -7 * (1-2 -8 )/(1-2 -7 ) / (-8 ) ! * (±(-8 )!)(0) + (-1) (17/16) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 7!/( 7- ( -1) )!/ (-1) !)*n 7- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 7-0 +(1/4) ( 7 !/( 7- 1 )!/ 1 !)*n 7- 1 +(0)n 7-2 + (-1) (1/8) ( 7!/( 7- 3 )!/ 3 !)* n 7- 3 +(0)n 7-4 + (1/4) ( 7!/( 7- 5 )!/ 5 !)*n 7- 5 +(0)n 7-6 + (-1) (17/16) ( 7!/( 7- 7 )!/ 7 !)*n 7- 7 ]
η(-6) = 1 +6 - 2 +6 + 3 +6 - . ± n +6 = π -6 * (1-2 -7 )/(1-2 -6 ) / (-7 ) ! * (±(-7 )!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 6!/( 6- (-1) )!/ (-1) !)*n 6- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 6-0 +(1/4) ( 6!/( 6- 1 )!/ 1 !)*n 6- 1 +(0)n 6-2 + (-1) (1/8) ( 6!/( 6- 3 )!/ 3 !)*n 6- 3 +( 0)n 6-4 + (1/4) ( 6!/( 6- 5 )!/ 5 !)*n 6- 5 +(0)n 6-6 ]
η(-5) = 1 +5 - 2 +5 + 3 +5 - . ± n +5 = π -5 * (1-2 -6 )/(1-2 -5 ) / (-6 ) ! * (±(-6 )!)(0) + (1/4) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 5!/( 5- (-1) ) !/ (-1) !)*n 5- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 5-0 +(1/4) ( 5!/( 5 - 1 )!/ 1 !)*n 5- 1 +(0)n 5-2 + (-1) (1/8) ( 5!/( 5- 3 )!/ 3 !)*n 5- 3 +(0)n 5-4 + (1/4) ( 5!/( 5- 5 )!/ 5 !)*n 5- 5 ]
η(-4) = 1 +4 - 2 +4 + 3 +4 - . ± n +4 = π -4 * (1-2 -5 )/(1-2 -4 ) / (-5 ) ! * (±(-5 )!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 4!/( 4- (-1) )!/ (-1) !)*n 4- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 4-0 +(1/4) ( 4!/( 4- 1 )!/ 1 !)*n 4- 1 +(0)n 4-2 + (-1) (1/8) ( 4!/( 4- 3 )!/ 3 !)*n 4- 3 +( 0)n 4-4 ]
η(-3) = 1 +3 - 2 +3 + 3 +3 - . ± n +3 = π -3 * (1-2 -4 )/(1-2 -3 ) / (-4 ) ! * (±(-4 )!)(0) + (-1) (1/8) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 3!/( 3- ( -1) )!/ (-1) !)*n 3- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 3-0 +(1/4) ( 3 !/( 3- 1 )!/ 1 !)*n 3- 1 +(0)n 3-2 + (-1) (1/8) ( 3!/( 3- 3 )!/ 3 !)* n 3- 3 ]
η(-2) = 1 +2 - 2 +2 + 3 +2 - . ± n+2 = π -2 * (1-2 -3 )/(1-2 -2 ) / (-3 ) ! * (±(-3 )!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 2!/( 2- (-1) )!/ (-1) !)*n 2- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 2-0 +(1/4) ( 2!/( 2- 1 )!/ 1 !)*n 2- 1 +(0)n 2-2 ]
η(-1) = 1 +1 - 2 +1 + 3 +1 - . ± n+1 = π -1 * (1-2 -2 )/(1-2 -1 ) / (-2 ) ! * (±(-2 )!)(0) + (1/4) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 1!/( 1- (-1) ) !/ (-1) !)*n 1- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 1-0 +(1/4) ( 1!/( 1 - 1 )!/ 1 !)*n 1- 1 ]
η( 0) = 1 0 - 2 0 + 3 0 - . ± n 0 = π 0 * (1-2 -1 ) /(1-2 0 ) / (-1 ) ! * (±(-1 )!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 0!/( 0- (-1) )!/ (-1) !)*n 0- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 0-0 ]
η(+1) = 1 -1 - 2 -1 + 3 -1 - . = π +1 * (1-2 0 )/(1-2 +1 ) / ( 0 ) ! * (0) + (-1) (±(-1 )!)(0) + ln(2)
η(+2) = 1 -2 - 2 -2 + 3 -2 - . = π +2 * (1-2 +1 )/(1-2 +2 ) / ( 1 ) ! * (1/4) + (±(-2 )!)(0)
η(+3) = 1 -3 - 2 -3 + 3 -3 - . = π +3 * (1-2 +2 )/(1-2 +3 ) / ( 2 ) ! * (0) + (±(-3 )!)(0) + .
η(+4) = 1 -4 - 2 -4 + 3 -4 - . = π +4 * (1-2 +3 )/(1-2 +4 ) / ( 3 ) ! * (1/8) + (±(-4 )!)(0)
η(+5) = 1 -5 - 2 -5 + 3 -5 - . = π +5 * (1-2 +4 )/(1-2 +5 ) / ( 4 ) ! * (0) + (-1) (±(-5 )!)(0) + .
η(+6) = 1 -6 - 2 -6 + 3 -6 - . = π +6 * (1-2 +5 )/(1-2 +6 ) / ( 5 ) ! * (1/4) + (±(-6 )!)(0)
η(+7) = 1 -7 - 2 -7 + 3 -7 - . = π +7 * (1-2 +6 )/(1-2 +7 ) / ( 6 ) ! * (0) + (±(-7 )!)(0) + .
η(+8) = 1 -8 - 2 -8 + 3 -8 - . = π +8 * (1-2 +7 )/(1-2 +8 ) / ( 7 ) ! * (17/16) + (±(-8 )!)(0)
η(+9) = 1 -9 - 2 -9 + 3 -9 - . = π +9 * (1-2 +8 )/(1-2 +9 ) / ( 8 ) ! * (0) + (-1) (±(-9 )!)(0) + .
η(+10) = 1 -10 - 2 -10 + 3 -10 - . = π +10 * (1-2 +9 )/(1-2 +10 ) / ( 9 ) ! * (31/4) + (±(-10)!)(0)
η(+11) = 1 -11 - 2 -11 + 3 -11 - . = π +11 * (1-2 +10 )/(1-2 +11 ) / ( 10) ! * (0) + (±(-11)!)(0) + .
η(+12) = 1 -12 - 2 -12 + 3 -12 - . = π +12 * (1-2 +11 )/(1-2 +12 ) / ( 11) ! * (691/8) + (±(-12)!)(0)
η(+13) = 1 -13 - 2 -13 + 3 -13 - . = π +13 * (1-2 +12 )/(1-2 +13 ) / ( 12) ! * (0) + (-1) (±(-13)!)(0) + .
η(+14) = 1 -14 - 2 -14 + 3 -14 - . = π +14 * (1-2 +13 )/(1-2 +14 ) / ( 13) ! * (5461/4) + (±(-14)!)(0)
η(+15) = 1 -15 - 2 -15 + 3 -15 - . = π +15 * (1-2 +14 )/(1-2 +15 ) / ( 14) ! * (0) + (±(-15)!)(0) + .
η(+16) = 1 -16 - 2 -16 + 3 -16 - . = π +16 * (1-2 +15 )/(1-2 +16 ) / ( 15) ! * (929569/32) + (±(-16)!)(0)
η(+17) = 1 -17 - 2 -17 + 3 -17 - . = π +17 * (1-2 +16 )/(1-2 +17 ) / ( 16) ! * (0) + (-1) (±(-17)!)(0) + .
η(+18) = 1 -18 - 2 -18 + 3 -18 - . = π +18 * (1-2 +17 )/(1-2 +18 ) / ( 17) ! * (3202291/4) + (±(-18)!)(0)
η(+19) = 1 -19 - 2 -19 + 3 -19 - . = π +19 * (1-2 +18 )/(1-2 +19 ) / ( 18) ! * (0) + (±(-19)!)(0) + .
η(+20) = 1 -20 - 2 -20 + 3 -20 - . = π +20 * (1-2 +19 )/(1-2 +20 ) / ( 19) ! * (221930581/8) + (±(-20)!)(0)

Remarque importante : je sais que la ligne à η( 0) pourrait être une étape controversée mais elle semble convenir

c'est la même idée que j'ai utilisée pour la fonction zeta lorsque la valeur y donnait -1/2 et maintenant elle donne 1/2


Représentation de la fonction Zeta sur le plan complexe

Une compréhension plus approfondie : « points d'origine »

Beaucoup de gens utilisent le terme « valeur assignée » ou « continuation analytique » pour des séries divergentes
Mais cette explication fait tellement défaut et peut être remplacée par un terme d'explication beaucoup plus simple et plus simple

Pour moi (comme je le vois) lorsque je regarde la fonction zêta, je ne vois pas (ou n'utilise pas) le terme "Valeur assignée" ou "Continuation analytique"
Au lieu de cela, je vois des « spirales » tout autour de la grille !

Le moyen le plus simple est de regarder d'abord le plan complexe ζ(s)=ζ(x+iy)=a+ib où Re(s)>1 et le comportement des points convergents (au-dessus de l'image en spirale !)
La spirale tourbillonne vers l'intérieur jusqu'à un point unique que la série Converge - Idem pour l'inverse !

Quand je regarde le plan complexe ζ(s)=ζ(x+iy)=a+ib où Re(s)<1 et le comportement des points divergents
La spirale tourbillonne vers l'extérieur mais si vous regardez de près, vous remarquerez que la spirale a un "point central" ou une "origine"
et cette « origine » est la « valeur assignée » dont tout le monde parle

quand j'ai commencé à lire sur la fonction zeta, je ne savais pas ce que sont ces « valeurs assignées » ou « continuation analytique »
et comment et pourquoi les gens essaient de donner une valeur aux séries divergentes Et pourquoi cette valeur spécifique et pas autre chose ?
Je voulais une explication autre que « parce que la formule le dit » et sans aller plus loin dans tous les « trucs de la suite analytique ».

Ces « points d'origine » ont fait l'affaire !

le point d'origine le plus simple à comprendre est η(-1)=1-2+3-4+5-6+.

la valeur (assignée) 1/4 n'est pas la somme de η(-1)
il représente simplement les points d'intersection des deux lignes
ou comme j'aime le décrire comme le point d'origine de la spirale sur le plan complexe

assurez-vous de vérifier mon article que j'ai soumis à Vixra >>> [PDF]

Si vous attribuez une valeur à une série qui diminue jusqu'à une valeur spécifique (cas n°1)
Ensuite, vous pouvez attribuer une valeur pour une série qui augmente de une valeur spécifique (cas n°2) <<< point d'origine !

A part ces deux cas, il y en a un de plus
C'est à ce moment-là que la spirale commence à tourner autour d'une valeur spécifique avec un "rayon fixe"
ces cas apparaissent à la fonction zêta ζ(s)=ζ(x+iy)=a+ib quand x=1 et le rayon sera 1/y
ce qui signifie qu'il s'agit d'une série divergente avec un "rayon fixe"

Il est vrai que les spirales de la fonction zêta ont 3 cas mais ce sont toutes des spirales avec un bras
Maintenant, à la fonction eta, les spirales ont deux bras (c'est à cause de la permutation +/-) avec les mêmes 3 cas

D'ailleurs le "rayon fixe" apparaît à la fonction eta η(s)=η(x+iy)=a+ib quand Re(s)=0


Équation intégrale de réflexion de la fonction zêta

Nous pouvons dériver l'équation intégrale de réflexion par l'analyse complexe.

Dans l'équation ci-dessus, nous avons utilisé la fonction bêta d'Euler B (X, oui). La méthode pour le dériver est expliquée dans le document suivant.

Nous pouvons dériver l'équation intégrale de réflexion par l'analyse quaternionique.

vous est le quaternion unité. La méthode pour le dériver est expliquée dans le document suivant.

On pourrait approcher l'hypothèse de Riemann en étudiant les valeurs propres de l'équation intégrale de réflexion. Je voudrais vous rappeler que la théorie des supercordes a commencé à partir de la fonction bêta.


Répartition des primes

le théorème des nombres premiers décrit l'asymptotique distribution des nombres premiers. Il nous donne une vue générale de la façon dont les nombres premiers sont distribués parmi les nombres entiers positifs et indique également que les nombres premiers deviennent moins courants à mesure qu'ils deviennent plus grands. De manière informelle, le théorème stipule que si un entier positif aléatoire est sélectionné dans la plage de zéro à un grand nombre NNN , la probabilité que l'entier sélectionné soit un nombre premier est d'environ 1 ln ⁡ N , frac<1> , ln N 1 ​ , où ln ⁡ N ln N ln N est le logarithme népérien de NNN .

Une application du théorème est qu'il donne une idée du temps qu'il faudra pour trouver un nombre premier d'une certaine taille par une recherche aléatoire. De nombreux cryptosystèmes (par exemple RSA) nécessitent des nombres premiers p 2 512 p approx 2^ <512>p ≈ 2 5 1 2 le théorème dit que la probabilité qu'un nombre choisi au hasard de cette taille soit premier est approximativement

Contenu


Fonctions Zeta et (L) en théorie des nombres et en combinatoire

Les fonctions Zeta et (L) jouent un rôle central dans la théorie des nombres. Ils fournissent des informations importantes de nature arithmétique. Ce livre, né de l'enseignement de l'auteur sur plusieurs années, explore l'interaction entre la théorie des nombres et la combinatoire en utilisant les fonctions zêta et (L) comme thème central. Il fournit un compte rendu systématique et complet de ces fonctions dans un cadre combinatoire et établit, entre autres, les contreparties combinatoires de résultats célèbres en théorie des nombres, tels que le théorème des nombres premiers et le théorème de densité de Chebotarev.

La théorie spectrale pour les graphes finis et les complexes de dimension supérieure est étudiée. Les objets spectralement extrémaux, appelés graphes de Ramanujan et complexes de Ramanujan, présentent un intérêt particulier en théorie et en applications, qui peuvent être caractérisés par leurs fonctions zêta associées satisfaisant l'hypothèse de Riemann.Des constructions explicites de ces objets combinatoires extrêmes, en utilisant des moyens théoriques et combinatoires des nombres, sont présentées.

La recherche sur les fonctions zêta et (L) pour des complexes autres que les graphes n'a émergé que ces dernières années. Il s'agit du premier livre destiné aux étudiants diplômés et aux chercheurs offrant un aperçu approfondi de ce domaine fascinant et en développement rapide.

Lectorat

Étudiants diplômés et chercheurs intéressés par les fonctions Zeta et (L).


Berndt, C.-B. : Le nombre de zéros pour (zeta ^<(k)>(s)) . J. Londres Maths. Soc. 2(4), 577–580 (1970)

Bohr, H., Landau, E.: Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die (zeta ) -Funktion und die (L) -Funktion. Déchirer. Circ. Tapis. Palerme 37, 269–272 (1914)

Bohr, H., Landau, E., Littlewood, J.E.: Sur la fonction (zeta (s)) dans le voisinage de la droite (sigma =1/2) . Acad. Roy. Belg. Taureau. Cl. Sci. 12, 1144–1175 (1913)

Ki, H., Lee, Y. : Zéros des dérivées de la fonction zêta de Riemann. Fonction. Environ. Commenter. Math. 47(1), 79–87 (2012)

Landau, E. : ber die Nullstellen der Zetafunktion. Math. Anne. 71(4), 548–564 (1912)

Lee, J., Onozuka, T., Suriajaya, A.I. : Quelques distributions de valeurs probabilistes de la fonction zêta de Riemann et de ses dérivés. Proc. Japon Acad. Sér. Un Maths. Sci. 92(7), 82–83 (2016)

Levinson, N. : Presque toutes les racines de (zeta (s)=a) sont arbitrairement proches de (sigma =1/2) . Proc. Natl. Acad. Sci. ETATS-UNIS. 72(4), 1322–1324 (1975)

Levinson, N., Montgomery, H.L. : Zéros des dérivées de la fonction zêta de Riemann. Acta Maths. 133, 49–65 (1974)

Spira, R. : Régions sans zéro de (zeta ^<(k)>(s)) . J. Londres Maths. Soc. s1–40, 677–682 (1965)

Spira, R. : Une autre région sans zéro pour (zeta ^<(k)>(s)) . Proc. Amer. Math. Soc. 26(2), 246–247 (1970)


8.3 : La fonction Riemann Zeta - Mathématiques

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Voir la vidéo: LHypothèse de Riemann (Décembre 2021).