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13.E : Exercices - Mathématiques


Exercice (PageIndex{1})

Déterminez si les ensembles de vecteurs donnés sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants. S'ils sont linéairement dépendants, écrivez-en un comme une combinaison linéaire des autres.

a.) (vec u = (0,2), vec v = (0,3))

b.) (vec u = (1,2,4), vec v = (1,-2,3), vec w = (-2,0,1))

c.) (vec u = (7,5), vec v = (1,2), vec w = (3,-1))

d) (vec u = (1,2,3), vec v = (2,4,6), vec w = (4,1,-4))

Répondre

a.) linéairement dépendant

b.) linéairement indépendant

c.) linéairement dépendant

d.) linéairement dépendant

Exercice (PageIndex{2})

Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces de (mathbb{R}^3) ou non ? Si non, donnez une explication et si oui, prouvez-le.

a.) (V) est l'ensemble de tous les ( (x,y,z)) tels que (x=0)

b.) (V) est l'ensemble de tous les ( (x,y,z)) tels que (2x=3y)

c.) (V) est l'ensemble de tous les ( (x,y,z)) tels que (x=6)

d.) (V) est l'ensemble de tous les ( (x,y,z)) tels que (x+y=0)

e.) (V) est l'ensemble de tous les ( (x,y,z)) tels que (x+y=2)

Répondre

a.) oui

b.) oui

c.) non

d.) oui

e.) non

Exercice (PageIndex{3})

Est-ce que (vec v = (1,0,-1)) dans l'étendue de ({ (5,3,4), (3,2,5)}) ? Si c'est le cas, écrivez (vec v) comme une combinaison linéaire des deux vecteurs.

Exercice (PageIndex{4})

Démontrer que si un ensemble fini de vecteurs contient le vecteur zéro, alors cet ensemble est linéairement dépendant.

Répondre

Astuce : Pour prouver qu'un ensemble de vecteurs est linéairement dépendant, vous devez montrer que l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des autres.

Exercice (PageIndex{5})

Les ensembles de vecteurs suivants forment-ils une base pour (mathbb{R}^n) ? Pourquoi ou pourquoi pas?

a.) (vec v_1 = (4,7), vec v_2 = (5,6))

b.) (vec v_1 = (1,-3), vec v_2 = (-3,9))

c.) (vec v_1 = (4,7,4), vec v_2 = (5,6,0), vec v_3 = (2,-1,1))

d.) (vec v_1 = (4,-1,4), vec v_2 = (5,2,0))

e.) (vec v_1 = (4,7,4), vec v_2 = (5,6,0), vec v_3 = (2,-1,1), vec v_4 = (0,1 ,2))

Répondre

Questions de test de pratique mathématique de raisonnement quantitatif DAT

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Ces questions pratiques de mathématiques de raisonnement quantitatif DAT sont conçues pour être similaires à celles trouvées dans le vrai test de mathématiques de raisonnement quantitatif DAT. Ils évalueront votre niveau de préparation et vous donneront une meilleure idée de ce qu'il faut étudier à votre examen.


Problèmes

13.2 Loi Faraday

24. Une bobine de 50 spires a un diamètre de 15 cm. La bobine est placée dans un champ magnétique spatialement uniforme de magnitude 0,50 T de sorte que la face de la bobine et le champ magnétique soient perpendiculaires. Trouvez l'amplitude de la force électromotrice induite dans la bobine si le champ magnétique est réduit à zéro uniformément dans

25. Répétez vos calculs du problème précédent en un temps de 0,1 s avec le plan de la bobine faisant un angle de

(c) 90° avec le champ magnétique.

26. Une boucle carrée dont les côtés mesurent 6,0 cm de long est faite de fil de cuivre de rayon 1,0 mm. Si un champ magnétique perpendiculaire à la boucle change à une vitesse de 5,0 mT/s, quel est le courant dans la boucle ?

27. Le champ magnétique à travers une boucle circulaire de rayon 10,0 cm varie avec le temps comme indiqué ci-dessous. Le champ est perpendiculaire à la boucle. Tracez l'amplitude de la force électromotrice induite dans la boucle en fonction du temps.

28. La figure ci-jointe montre une bobine rectangulaire à un tour qui a une résistance de 2.0&Omega.2.0&Omega. Le champ magnétique en tous points à l'intérieur de la bobine varie selon (displaystyle B=B_0e^<&minus&alphat>,) où (displaystyle B_0=0.25T) et &alpha=200Hz. Quel est le courant induit dans la bobine à

29. Comment les réponses au problème précédent changeraient-elles si la bobine était constituée de 20 tours rapprochés ?

30. Un long solénoïde avec n=10 tours par centimètre a une section transversale de (displaystyle 5,0 cm^2) et transporte un courant de 0,25 A. Une bobine à cinq tours entoure le solénoïde. Lorsque le courant traversant le solénoïde est coupé, il diminue jusqu'à zéro en 0,050 s. Quelle est la force électromotrice moyenne induite dans la bobine?

31. Une boucle de fil rectangulaire de longueur a et de largeur b se trouve dans le plan xy, comme illustré ci-dessous. Dans la boucle, il y a un champ magnétique dépendant du temps donné par (displaystyle vec(t)=C((xcos&omegat)hat+(ysin&omegat)hat)), avec (displaystyle vec(t)) en tesla. Déterminer la force électromotrice induite dans la boucle en fonction du temps.

32. Le champ magnétique perpendiculaire à une seule boucle de fil de diamètre 10,0 cm diminue de 0,50 T à zéro. Le fil est en cuivre et a un diamètre de 2,0 mm et une longueur de 1,0 cm. Quelle charge se déplace dans le fil pendant que le champ change ?

13.3 Loi de Lenz

33. Une boucle de fil circulaire à un tour de rayon 50 mm se trouve dans un plan perpendiculaire à un champ magnétique spatialement uniforme. Pendant un intervalle de temps de 0,10 s, l'amplitude du champ augmente uniformément de 200 à 300 mT.

(a) Déterminer la force électromotrice induite dans la boucle.

(b) Si le champ magnétique est dirigé hors de la page, quelle est la direction du courant induit dans la boucle ?

34. Lorsqu'un champ magnétique est activé pour la première fois, le flux à travers une boucle de 20 tours varie avec le temps selon (displaystyle &Phi_m=5.0t^2&minus2.0t), où (displaystyle &Phi_m) est en milliwebers, t est en secondes, et la boucle est dans le plan de la page avec l'unité normale pointant vers l'extérieur.

(a) Quelle est la force électromotrice induite dans la boucle en fonction du temps ? Quel est le sens du courant induit à

35. Le flux magnétique à travers la boucle montrée dans la figure ci-jointe varie avec le temps selon (displaystyle &Phi_m=2.00e^<&minus3t>sin(120&pit)),où (displaystyle &Phi_m) est en milliwebers. Quelle est la direction et l'amplitude du courant dans le 5.00-&Oméga résistance en (a) t=0t=0 (b) (displaystyle t=2.17×10^<&moins2>s), et (c) t=3.00s?

36. Utilisez la loi de Lenz&rsquos pour déterminer la direction du courant induit dans chaque cas.

13.4 Emf de mouvement

37. Une automobile avec une antenne radio de 1,0 m de long se déplace à 100,0 km/h dans un endroit où le champ magnétique horizontal de la Terre est (displaystyle 5.5×10^<&minus5>T). Quelle est la force électromotrice maximale possible induite dans l'antenne en raison de ce mouvement ?

38. La boucle rectangulaire de N tours montrée ci-dessous se déplace vers la droite avec une vitesse constante (displaystyle vec) en sortant des pôles d'un gros électro-aimant. (a) En supposant que le champ magnétique est uniforme entre les faces polaires et négligeable ailleurs, déterminez la force électromotrice induite dans la boucle. (b) Quelle est la source de travail qui produit cette fem ?

39. Supposons que le champ magnétique du problème précédent oscille avec le temps selon (displaystyle B=B_0 sin&omegat). Quelle est alors la force électromotrice induite dans la boucle lorsque son côté arrière est à une distance (d) du bord droit de la région du champ magnétique ?

40. Une bobine de 1000 tours enferme une surface de(displaystyle 25cm^2). Il est tourné en 0,010 s d'une position où son plan est perpendiculaire au champ magnétique terrestre à une position où son plan est parallèle au champ. Si la force du champ est (displaystyle 6.0×10^<&minus5>T), quelle est la force électromotrice moyenne induite dans la bobine ?

41. Dans le circuit représenté sur la figure ci-jointe, la tige glisse le long des rails conducteurs à une vitesse constante (displaystyle vec). La vitesse est dans le même plan que les rails et dirigée à un angle &theta&theta par rapport à eux. Un champ magnétique uniforme (displaystyle vec) est dirigé hors de la page. Quelle est la force électromotrice induite dans la tige?

42. La tige montrée dans la figure ci-jointe se déplace à travers un champ magnétique uniforme de force (displaystyle B=0,50T) avec une vitesse constante de magnitude (displaystyle v=8,0m/s.). Quelle est la différence de potentiel entre les extrémités de la tige ? Quelle extrémité de la tige est à un potentiel plus élevé ?

43. Une tige de 25 cm se déplace à 5,0 m/s dans un plan perpendiculaire à un champ magnétique d'intensité 0,25 T. La tige, le vecteur vitesse et le vecteur champ magnétique sont mutuellement perpendiculaires, comme indiqué dans la figure ci-jointe. Calculer

(a) la force magnétique sur un électron dans le barreau,

(b) le champ électrique dans la tige, et

(c) la différence de potentiel entre les extrémités de la tige.

(d) Quelle est la vitesse de la tige si la différence de potentiel est de 1,0 V ?

44. Dans la figure ci-jointe, les rails, l'embout de raccordement et la tige ont tous une résistance par unité de longueur de 2.0&Oméga/cm. La tige se déplace vers la gauche à v=3.0m/s. Si B=0,75T partout dans la région, quel est le courant dans le circuit

(a) quand un=8.0cm?

(b) quand un = 5,0 cm? Précisez également le sens du flux de courant.

45. La tige illustrée ci-dessous se déplace vers la droite sur des rails à résistance pratiquement nulle à une vitesse de v=3.0m/s. Si B=0,75T partout dans la région, quel est le courant à travers le 5.0-&Oméga résistance ? Le courant circule-t-il dans le sens horaire ou antihoraire ?

46. Ci-dessous, une tige conductrice qui glisse le long de rails métalliques. L'appareil est dans un champ magnétique uniforme de force 0,25 T, qui est directement dans la page. La tige est tirée vers la droite à une vitesse constante de 5,0 m/s par une force (displaystyle vec). La seule résistance significative dans le circuit vient du 2.0-&Oméga résistance montrée.

(a) Quelle est la force électromotrice induite dans le circuit?

(b) Quel est le courant induit? Circule-t-il dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?

(c) Quelle est la magnitude de (displaystyle vec)?

(d) Quelle est la puissance de sortie de (displaystyle vec) et la puissance dissipée dans la résistance ?

13.5 Champs électriques induits

47. Calculer le champ électrique induit dans une bobine de 50 spires d'un diamètre de 15 cm qui est placée dans un champ magnétique spatialement uniforme de magnitude 0,50 T de sorte que la face de la bobine et le champ magnétique soient perpendiculaires. Ce champ magnétique est réduit à zéro en 0,10 seconde. Supposons que le champ magnétique soit à symétrie cylindrique par rapport à l'axe central de la bobine.

48. Le champ magnétique à travers une boucle circulaire de rayon 10,0 cm varie avec le temps comme le montre la figure ci-jointe. Le champ est perpendiculaire à la boucle. En supposant une symétrie cylindrique par rapport à l'axe central de la boucle, tracer le champ électrique induit dans la boucle en fonction du temps.

49. Le courant I à travers un long solénoïde avec n tours par mètre et le rayon R change avec le temps comme indiqué par dI/dt. Calculer le champ électrique induit en fonction de la distance r de l'axe central du solénoïde.

50. Calculer le champ électrique induit à la fois à l'intérieur et à l'extérieur du solénoïde du problème précédent si (displaystyle I=I_0sin&omegat.).

51. Sur une région de rayon R, il existe un champ magnétique spatialement uniforme (displaystyle vec). (Voir ci-dessous.) À t=0, B=1.0T, après quoi il décroît à une vitesse constante jusqu'à zéro en 30 s.

(a) Quel est le champ électrique dans les régions où (displaystyle r&leR) et (displaystyle r&geR) pendant cet intervalle de 30 s ?

(b) Supposons que R=10.0cm. Combien de travail est effectué par le champ électrique sur un proton qui est transporté une fois dans le sens des aiguilles d'une montre autour d'une trajectoire circulaire de 5,0 cm de rayon ?

(c) Quelle quantité de travail le champ électrique effectue-t-il sur un proton qui est transporté une fois dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour d'une trajectoire circulaire de tout rayon (displaystyle r&geR) ?

(d) Au moment où B=0,50T, un proton entre dans le champ magnétique en A, déplaçant une vitesse (displaystyle vec(v=5.0×10^6m/s)) comme indiqué. Quelles sont les forces électriques et magnétiques sur le proton à cet instant ?

52. Le champ magnétique en tous points de la région cylindrique dont la section transversale est indiquée sur la figure ci-jointe commence à 1,0 T et diminue uniformément jusqu'à zéro en 20 s. Quel est le champ électrique (à la fois l'amplitude et la direction) en fonction de r, la distance du centre géométrique de la région ?

53. Le courant dans un long solénoïde de rayon 3 cm varie avec le temps à une vitesse de 2 A/s. Une boucle circulaire de fil de rayon 5 cm et résistance 2&Oméga entoure le solénoïde. Trouver le courant électrique induit dans la boucle.

54. Le courant dans un long solénoïde de rayon 3 cm et 20 tours/cm varie avec le temps à une vitesse de 2 A/s. Trouvez le champ électrique à une distance de 4 cm du centre du solénoïde.

13.7 Générateurs électriques et contre-électromotrice

55. Concevez une boucle de courant qui, lorsqu'elle est tournée dans un champ magnétique uniforme de force 0,10 T, produira une fem (displaystyle &epsilon=&epsilon_0sin&omegat,), où (displaystyle &epsilon_0=110V) et (displaystyle &omega= 120&pirad/s).

56. Une bobine plate et carrée de 20 tours dont les côtés ont une longueur de 15,0 cm tourne dans un champ magnétique d'une force de 0,050 T. Si la force électromotrice maximale produite dans la bobine est de 30,0 mV, quelle est la vitesse angulaire de la bobine ?

57. Une bobine rectangulaire de 50 tours avec dimensions 0,15 m et fois 0,40 m tourne dans un champ magnétique uniforme de magnitude 0,75 T à 3600 tr/min.

(a) Déterminer la force électromotrice induite dans la bobine en fonction du temps.

(b) Si la bobine est connectée à un 1000-&Oméga résistance, quelle est la puissance en fonction du temps nécessaire pour maintenir la bobine en rotation à 3600 tr/min ?

(c) Répondre à la partie (b) si la bobine est connectée à un 2000-&Oméga résistance.

58. La bobine d'armature carrée d'un générateur de courant alternatif a 200 tours et mesure 20,0 cm de côté. Lorsqu'il tourne à 3600 tr/min, sa tension de sortie maximale est de 120 V.

(a) Quelle est la fréquence de la tension de sortie ?

(b) Quelle est la force du champ magnétique dans lequel la bobine tourne ?

59. Une bobine à bascule est un appareil relativement simple utilisé pour mesurer un champ magnétique. Il se compose d'une bobine circulaire de N spires enroulée avec un fil conducteur fin. La bobine est reliée à un galvanomètre balistique, un appareil qui mesure la charge totale qui la traverse. La bobine est placée dans un champ magnétique (displaystyle vec) tel que sa face soit perpendiculaire au champ. Il est ensuite basculé à 180°, 180° et la chargeQ totale qui traverse le galvanomètre est mesurée.

(a) Si la résistance totale de la bobine et du galvanomètre est R, quelle est la relation entre B et Q ? Parce que la bobine est très petite, vous pouvez supposer que(displaystyle vec) est uniforme dessus.

(b) Comment pouvez-vous déterminer si le champ magnétique est perpendiculaire à la face de la bobine ?

60. La bobine à bascule du problème précédent a un rayon de 3,0 cm et est enroulée avec 40 tours de fil de cuivre. La résistance totale de la bobine et du galvanomètre balistique est 0.20&Oméga. Quand la bobine est retournée 180° dans un champ magnétique (displaystyle vec), un changement de 0,090 C traverse le galvanomètre balistique.

(a) En supposant que (displaystyle vec) et la face de la bobine sont initialement perpendiculaires, quel est le champ magnétique ?

(b) Si la bobine est retournée 90°, quelle est la lecture du galvanomètre?

61. Un moteur 120 V enroulé en série a une résistance de champ de 80 &Oméga et une résistance d'induit de 10 &Oméga. Lorsqu'il fonctionne à pleine vitesse, une force contre-électromotrice de 75 V est générée.

(a) Quel est le courant initial consommé par le moteur ? Lorsque le moteur fonctionne à pleine vitesse, où sont

(b) le courant consommé par le moteur,

(c) la puissance de sortie de la source,

(d) la puissance de sortie du moteur, et

(e) la puissance dissipée dans les deux résistances ?

62. Un petit moteur à courant continu enroulé en série fonctionne à partir d'une batterie de voiture de 12 V. Sous une charge normale, le moteur consomme 4,0 A, et lorsque l'armature est serrée de manière à ce qu'elle ne puisse pas tourner, le moteur consomme 24 A. Quelle est la force électromotrice arrière lorsque le moteur fonctionne normalement ?


13.E : Optique (Exercices)

  • Contribution de Benjamin Crowell
  • Professeur (physique) au Fullerton College

1. Dessinez un diagramme de rayons montrant pourquoi une petite source de lumière (une bougie, disons) produit des ombres plus nettes qu'une grande (par exemple, une longue ampoule fluorescente).

2. Un récepteur GPS (Global Positioning System) est un appareil qui vous permet de savoir où vous vous trouvez en recevant des signaux radio programmés des satellites. Il fonctionne en mesurant le temps de trajet des signaux, qui est lié à la distance entre vous et le satellite. En trouvant ainsi les portées de plusieurs satellites différents, il peut localiser votre position en trois dimensions à quelques mètres près. Quelle doit être la précision de la mesure du délai pour déterminer votre position avec cette précision ?

3. Estimez la fréquence d'une onde électromagnétique dont la longueur d'onde est de taille similaire à celle d'un atome (environ un nm). En se référant à la figure o à la p. 703, dans quelle partie du spectre électromagnétique se situerait une telle onde (infrarouge, rayons gamma, . ) ?

4. Le bombardier Stealth est conçu avec des surfaces planes et lisses. Pourquoi cela rendrait-il difficile la détection par radar ?

5. Les natifs de la planète Wumpus jouent au billard en utilisant des rayons lumineux sur une table à onze côtés avec des miroirs pour pare-chocs, illustrée dans la figure de la page suivante. Tracez ce plan avec précision avec une règle pour révéler le message caché. Pour obtenir une précision suffisante, vous devrez photocopier la page (ou télécharger le livre et imprimer la page) et construire chaque réflexion à l'aide d'un rapporteur.

6. La figure de la page suivante montre un miroir incurvé (parabolique), avec trois rayons lumineux parallèles venant vers lui. Un rayon approche le long de la ligne médiane du miroir. (a) Tracez le dessin avec précision et continuez les rayons lumineux jusqu'à ce qu'ils soient sur le point de subir leur deuxième réflexion. Pour obtenir une précision suffisante, vous devrez photocopier la page (ou télécharger le livre et imprimer la page) et dessiner la normale à chaque endroit où un rayon est réfléchi. Que remarquez-vous ? (b) Constituez un exemple d'utilisation pratique de cet appareil. (c) Comment pourrais-tu utiliser ce miroir avec une petite ampoule pour produire un faisceau parallèle de rayons lumineux partant vers la droite ?

7. (vérification des réponses disponible sur lightandmatter.com) Un homme marche à 1,0 m/s directement vers un miroir plat. A quelle vitesse sa séparation d'avec son image diminue-t-elle ?

8. Si un miroir sur un mur est juste assez grand pour que vous vous voyiez de la tête jusqu'à la taille, pouvez-vous voir tout votre corps en reculant ? Testez cela expérimentalement et proposez une explication de vos observations, y compris un diagramme de rayons.

Notez que lorsque vous faites l'expérience, il est facile de vous confondre si le miroir est même légèrement décalé par rapport à la verticale. Une façon de vous vérifier est d'abaisser artificiellement le haut du miroir en mettant un morceau de ruban adhésif ou un post-it là où il bloque votre vue du haut de votre tête. Vous pouvez ensuite vérifier si vous êtes capable de vous voir plus à la fois ci-dessus et ci-dessous en sauvegardant.

9. Dans la section 12.2 nous n'avons fait que des exemples de miroirs avec des formes évidées (appelés miroirs concaves). Dessinez maintenant un diagramme de rayons pour un miroir incurvé qui a une forme bombée vers l'extérieur (appelé miroir convexe). (a) Comment la distance de l'image au miroir se compare-t-elle à la distance de l'objet réel au miroir ? À partir de cette comparaison, déterminez si le grossissement est supérieur ou inférieur à un. (b) L'image est-elle réelle ou virtuelle ? Ce miroir pourrait-il jamais faire l'autre type d'image ?

10. Comme discuté à la question 9, il existe deux types de miroirs incurvés, concaves et convexes. Faites une liste de toutes les combinaisons possibles de types d'images (virtuelles ou réelles) avec des types de miroirs (concave et convexe). (Les quatre combinaisons ne sont pas toutes physiquement possibles.) Maintenant, pour chacune, utilisez des diagrammes de rayons pour déterminer si l'augmentation de la distance de l'objet au miroir entraîne une augmentation ou une diminution de la distance de l'image au miroir.

Dessinez de GRANDS diagrammes de rayons ! Chaque diagramme devrait utiliser environ une demi-page de papier.

Quelques conseils : Pour dessiner un diagramme de rayons, vous avez besoin de deux rayons. Pour l'un d'entre eux, choisissez le rayon qui vient droit le long de l'axe du miroir, car son reflet est facile à dessiner. Après avoir dessiné les deux rayons et localisé l'image pour la position d'origine de l'objet, choisissez une nouvelle position d'objet qui donne le même type d'image et commencez un nouveau diagramme de rayons, dans une couleur de crayon différente, juste au-dessus du premier une. Pour les deux nouveaux rayons, choisissez ceux qui viennent de frapper le miroir aux deux mêmes endroits, ce qui permet d'obtenir beaucoup plus facilement le bon résultat sans dépendre d'une précision extrême dans votre capacité à dessiner les rayons réfléchis.

11. Si l'utilisateur d'un télescope astronomique rapproche ou éloigne sa tête de l'image qu'il regarde, le grossissement change-t-il ? Le grossissement angulaire change-t-il ? Expliquer. (Pour plus de simplicité, supposons qu'aucun oculaire n'est utilisé.)

12. Dans la figure g/2 in à la page 752, seule l'image de mon front a été localisée en dessinant des rayons. Photocopiez la figure ou téléchargez le livre et imprimez la page correspondante. Sur cette copie de la figure, faites un nouvel ensemble de rayons venant de mon menton, et repérez son image. Pour faciliter l'évaluation précise des angles, tracez des rayons du menton qui frappent le miroir aux mêmes endroits où les deux rayons du front ont été montrés le frappant. En comparant les emplacements de l'image du menton et de l'image du front, vérifiez que l'image est bien à l'envers, comme le montre la figure d'origine.

13. La figure montre quatre points où les rayons se croisent. Parmi ceux-ci, quels sont les points d'image ? Expliquer.

14. Voici un jeu auquel mes enfants aiment jouer. Je suis assis à côté d'une fenêtre ensoleillée et le soleil se reflète sur le verre de ma montre, créant un disque de lumière sur le mur ou le sol, qu'ils prétendent chasser lorsque je le déplace. Le spot est-il un disque parce que c'est la forme du soleil, ou parce que c'est la forme de ma montre ? En d'autres termes, une montre carrée ferait-elle une tache carrée, ou avons-nous simplement une image circulaire du soleil circulaire, qui sera circulaire quoi qu'il arrive ?

15. Appliquer l'équation (M=d_i/d_o) au cas d'un miroir plat.

16. (solution dans la version pdf du livre) Utiliser la méthode décrite dans le texte pour dériver l'équation reliant la distance objet à la distance image pour le cas d'une image virtuelle produite par un miroir convergent.

17. Trouvez la distance focale du miroir dans le problème 6. (vérification de la réponse disponible sur lightandmatter.com)

18. Classez les distances focales des miroirs sur la figure, de la plus courte à la plus longue. Expliquer.

19. (solution dans la version pdf du livre) (a) Un miroir convergent avec une distance focale de 20 cm est utilisé pour créer une image, en utilisant un objet à une distance de 10 cm. L'image est-elle réelle ou virtuelle ? (b) Que diriez-vous de (f=20) cm et (d_o=30) cm ? (c) Et si c'était un divergent miroir avec (f=20) cm et (d_o=10) cm ? (d) Un miroir divergent avec (f=20) cm et (d_o=30) cm ?

20. (a) Créez un exemple numérique d'une image virtuelle formée par un miroir convergent avec une certaine distance focale, et déterminez le grossissement. (Vous aurez besoin du résultat du problème 16.) Assurez-vous de choisir les valeurs de (d_o) et (f) qui produiraient réellement une image virtuelle, pas une vraie. Changez maintenant l'emplacement de l'objet un peu et redéfinir le grossissement, montrant qu'il change. Dans mon grand magasin local, le département des cosmétiques vend des miroirs à main annoncés comme donnant un grossissement de 5 fois. Comment interpréteriez-vous cela ?

(b) Supposons qu'un télescope newtonien soit utilisé pour l'observation astronomique. Supposons pour simplifier qu'aucun oculaire n'est utilisé, et supposez une valeur pour la distance focale du miroir qui serait raisonnable pour un instrument amateur qui doit tenir dans un placard. Le grossissement angulaire est-il différent pour des objets à des distances différentes ? Par exemple, vous pourriez considérer deux planètes, dont l'une est deux fois plus éloignée que l'autre.

21. (a) Trouvez un cas où le grossissement d'un miroir courbe est infini. Est le angulaire grossissement infini à partir de n'importe quelle position de vision réaliste ? (b) Expliquez pourquoi un grossissement arbitrairement grand ne peut pas être obtenu en ayant une valeur suffisamment petite de (d_o).

22. Une surface concave qui réfléchit les ondes sonores peut agir comme un miroir convergent. Supposons que, debout près d'une telle surface, vous puissiez trouver un endroit où vous pouvez placer votre tête pour que vos propres chuchotements soient concentrés sur votre tête, de sorte qu'ils vous paraissent forts. Compte tenu de votre distance à la surface, quelle est la distance focale de la surface ?

23. La figure montre un dispositif pour construire une illusion d'optique réaliste. Deux miroirs de focale égale sont placés l'un contre l'autre avec leurs surfaces argentées tournées vers l'intérieur. Un petit objet placé au fond de la cavité aura son image projetée dans l'air au-dessus. La façon dont cela fonctionne est que le miroir supérieur produit une image virtuelle, et le miroir inférieur crée alors une image réelle de l'image virtuelle. (a) Montrer que si l'image doit être positionnée comme indiqué, à l'embouchure de la cavité, alors la distance focale des miroirs est liée à la dimension (h) via l'équation

(b) Reformulez l'équation en fonction d'une seule variable (x=h/f), et montrez qu'il existe deux solutions pour (x). Quelle solution est physiquement cohérente avec les hypothèses du calcul ?

24. (a) Un miroir convergent est utilisé pour créer une image virtuelle. Quelle est la plage de grossissements possibles ? (b) Faites de même pour les autres types d'images qui peuvent être formées par des miroirs courbes (à la fois convergents et divergents).

25. Un miroir divergent de focale (f) est fixe et orienté vers le bas. Un objet tombe de la surface du miroir et s'en éloigne avec une accélération (g). Le but du problème est de trouver la vitesse maximale de l'image.
(a) Décrivez verbalement le mouvement de l'image et expliquez pourquoi nous devrions nous attendre à ce qu'il y ait une vitesse maximale.
(b) Utilisez des arguments basés sur des unités pour déterminer la forme de la solution, jusqu'à une constante multiplicative inconnue sans unité.
(c) Complétez la solution en déterminant la constante sans unité.

26. Le diamant a un indice de réfraction de 2,42, et une partie de la raison pour laquelle les diamants scintillent est que cela encourage un rayon lumineux à subir de nombreuses réflexions internes totales avant d'émerger. (a) Calculez l'angle critique auquel la réflexion interne totale se produit dans le diamant. (vérification des réponses disponible sur lightandmatter.com) (b) Expliquez l'interprétation de votre résultat : est-il mesuré à partir de la normale ou de la surface ? Est-ce un minimum ou un maximum ? En quoi l'angle critique aurait-il été différent pour une substance telle que le verre ou le plastique, avec un indice de réfraction inférieur ?

27. Supposons qu'une lentille convergente soit constituée d'un type de plastique dont l'indice de réfraction est inférieur à celui de l'eau. En quoi le comportement de l'objectif sera-t-il différent s'il est placé sous l'eau ?

28. Il existe deux principaux types de télescopes, réfractants (utilisant une lentille) et réfléchissants (utilisant un miroir, comme dans la figure i à la p. 754). (Certains télescopes utilisent un mélange des deux types d'éléments : la lumière rencontre d'abord un grand miroir incurvé, puis traverse un oculaire qui est une lentille. Pour simplifier les choses, supposez qu'aucun oculaire n'est utilisé.) Quelles seraient les implications de la couleur -dépendance de la distance focale ont pour les mérites relatifs des deux types de télescopes ? Décrivez le cas où une image est formée d'une étoile blanche. Vous trouverez peut-être utile de dessiner un diagramme de rayons.

29. Sur la base de la loi de Snell, expliquez pourquoi les rayons lumineux traversant les bords d'une lentille convergente sont plus courbés que les rayons traversant des parties plus proches du centre. Il peut sembler que cela devrait être l'inverse, puisque les rayons au bord traversent moins de verre --- ne devraient-ils pas être moins affectés ? Dans ta réponse :

  • Incluez un diagramme de rayons montrant une vue en gros plan sur une page entière de la partie pertinente de l'objectif.
  • Tirez parti du fait que les surfaces avant et arrière ne sont pas toujours parallèles à une lentille dans laquelle les surfaces avant et arrière sont toujours parallèle ne focalise pas du tout la lumière, donc si votre explication n'utilise pas ce fait, votre argument doit être incorrect.
  • Assurez-vous que votre argument fonctionne toujours même si les rayons ne sont pas parallèles à l'axe.

30. Lorsque vous prenez des photos avec un appareil photo, la distance entre l'objectif et le film doit être ajustée en fonction de la distance à laquelle vous souhaitez effectuer la mise au point. Cela se fait en déplaçant la lentille. Si vous souhaitez modifier votre mise au point afin de pouvoir prendre une photo de quelque chose de plus éloigné, dans quel sens devez-vous déplacer l'objectif ? Expliquez à l'aide de diagrammes de rayons. [Basé sur un problème d'Eric Mazur.]

31. Lorsque vous nagez sous l'eau, pourquoi votre vision est-elle beaucoup plus claire en portant des lunettes avec des morceaux de verre plats qui retiennent l'air derrière elles ? [Astuce : vous pouvez simplifier votre raisonnement en considérant le cas particulier où vous regardez un objet au loin, et le long de l'axe optique de l'œil.]

32. (vérification des réponses disponible sur lightandmatter.com) Un objet est plus d'une distance focale d'une lentille convergente. (a) Trace un diagramme de rayons. (b) En utilisant un raisonnement comme celui développé dans la section 12.3, déterminez les signes positifs et négatifs dans l'équation (1/f=pm1/d_ipm1/d_o). (c) Les images de la rose de la section 4.2 ont été réalisées à l'aide d'une lentille d'une distance focale de 23 cm. Si l'objectif est placé à 80 cm de la rose, repérez l'image.

33. La figure montre quatre lentilles. La lentille 1 a deux surfaces sphériques. L'objectif 2 est le même que l'objectif 1 mais inversé. L'objectif 3 est fabriqué en coupant à travers l'objectif 1 et en tournant le fond. La lentille 4 est réalisée en coupant un cercle central dans la lentille 1 et en l'encastrant.

(a) Un faisceau de lumière parallèle pénètre dans la lentille 1 par la gauche, parallèlement à son axe. Raisonnement basé sur la loi de Snell, le faisceau sortant de la lentille sera-t-il courbé vers l'intérieur, ou vers l'extérieur, ou restera-t-il parallèle à l'axe ? Expliquez votre raisonnement. Dans le cadre de votre réponse, faites un grand dessin d'une petite partie de la lentille et appliquez la loi de Snell aux deux interfaces. Rappelez-vous que les rayons sont plus courbés s'ils arrivent à l'interface à un angle plus grand par rapport à la normale.

(b) Que se passera-t-il avec les lentilles 2, 3 et 4 ? Expliquer. Les dessins ne sont pas nécessaires.

34. Le dessin montre l'anatomie de l'œil humain, à deux fois la taille de la vie. Trouvez le rayon de courbure de la surface externe de la cornée par des mesures sur la figure, puis dérivez la distance focale de l'interface air-cornée, où se produit presque toute la focalisation de la lumière. Vous devrez utiliser un raisonnement physique pour modifier l'équation du fabricant de lentilles pour le cas où il n'y a qu'une seule surface de réfraction. Supposons que l'indice de réfraction de la cornée est essentiellement celui de l'eau.

35. (vérification des réponses disponible sur lightandmatter.com) Un objet est à moins d'une distance focale d'une lentille convergente. (a) Trace un diagramme de rayons. (b) En utilisant un raisonnement comme celui développé dans la section 12.3, déterminez les signes positifs et négatifs dans l'équation (1/f=pm1/d_ipm1/d_o). (c) Les images de la rose de la section 4.2 ont été réalisées à l'aide d'une lentille d'une distance focale de 23 cm. Si la lentille est placée à 10 cm de la rose, repérez l'image.

36. (vérification des réponses disponible sur lightandmatter.com) Les personnes myopes portent des lunettes dont les verres divergent. (a) Trace un diagramme de rayons. Pour plus de simplicité, prétendez qu'il n'y a pas d'œil derrière les lunettes. (b) En utilisant un raisonnement comme celui développé dans la section 12.3, déterminez les signes positifs et négatifs dans l'équation (1/f=pm1/d_ipm1/d_o). (c) Si la distance focale de l'objectif est de 50,0 cm et que la personne regarde un objet à une distance de 80,0 cm, localisez l'image.

37. (a) La lumière est réfléchie de manière diffuse par un objet à 1 000 m sous l'eau. La lumière qui remonte à la surface est réfractée à l'interface eau-air. Si les rayons réfractés semblent tous provenir du même point, alors il y aura une image virtuelle de l'objet dans l'eau, au-dessus de la position réelle de l'objet, qui sera visible pour un observateur au-dessus de l'eau. Considérons trois rayons, A, B et C, dont les angles dans l'eau par rapport à la normale sont respectivement ( heta_i=0.000°), (1.000°) et (20.000°). Trouvez la profondeur du point auquel les parties réfractées de A et B semblent s'être intersectées, et faites de même pour A et C. Montrez que les intersections sont à peu près à la même profondeur, mais pas tout à fait. [Vérifier : La différence de profondeur doit être d'environ 4 cm.]

(b) Étant donné que tous les rayons réfractés ne semblent pas tout à fait provenir du même point, il ne s'agit techniquement pas d'une image virtuelle. Concrètement, quel effet cela aurait-il sur ce que vous voyez ?

(c) Dans le cas où les angles sont tous petits, utilisez l'algèbre et le trig pour montrer que les rayons réfractés semblent provenir du même point, et trouvez une équation pour la profondeur de l'image virtuelle. Ne mettez pas de valeurs numériques pour les angles ou pour les indices de réfraction --- gardez-les simplement comme symboles. Vous aurez besoin de l'approximation (sin hetaapprox an hetaapprox heta), qui est valable pour les petits angles mesurés en radians.

38. Montrer que le principe du moindre temps conduit à la loi de Snell.

39. (solution dans la version pdf du livre) Deux focales standard pour les objectifs d'appareil photo sont 50 mm (standard) et 28 mm (grand-angle). Pour voir comment les distances focales se rapportent à la taille angulaire du champ de vision, il est utile de visualiser les choses telles que représentées sur la figure. Au lieu de montrer de nombreux rayons provenant du même point sur le même objet, comme nous le faisons normalement, la figure montre deux rayons provenant de deux objets différents. Bien que la lentille intercepte une infinité de rayons provenant de chacun de ces points, nous n'avons montré que ceux qui passent par le centre de la lentille, de sorte qu'ils ne subissent aucune déviation angulaire. (Toute déviation angulaire à la surface avant de la lentille est annulée par une déviation opposée à l'arrière, puisque les surfaces avant et arrière sont parallèles au centre de la lentille.) La particularité de ces deux rayons est qu'ils sont dirigés vers les bords c'est-à-dire qu'ils montrent les limites du champ de vision. Tout au long de ce problème, nous supposons que (d_o) est bien supérieur à (d_i). (a) Calculez la largeur angulaire du champ de vision de la caméra lorsque ces deux objectifs sont utilisés. (b) Utilisez des approximations aux petits angles pour trouver une équation simplifiée pour la largeur angulaire du champ de vision, ( heta ), en termes de distance focale, (f), et la largeur du film, (w). Votre équation ne doit pas contenir de fonctions trigonométriques. Comparez les résultats de cette approximation avec vos réponses de la partie a. (c) Supposons que nous maintenions constante l'ouverture (quantité de surface de l'objectif utilisée pour collecter la lumière). Lors du passage d'un objectif 50 mm à un objectif 28 mm, combien de fois l'exposition doit-elle être plus longue ou plus courte pour obtenir une image correctement développée, c'est-à-dire qui ne soit ni sous-exposée ni surexposée ? [Basé sur un problème d'Arnold Arons.]

40. Une personne myope est une personne dont les yeux focalisent la lumière trop fortement et qui est donc incapable de détendre suffisamment le cristallin à l'intérieur de son œil pour former une image sur sa rétine d'un objet trop éloigné.

(a) Dessinez un diagramme de rayons montrant ce qui se passe lorsque la personne essaie, avec une vision non corrigée, de se concentrer à l'infini.

(b) Quel type de verres ses lunettes ont-elles ? Expliquer.

(c) Dessinez un diagramme de rayons montrant ce qui se passe lorsqu'elle porte des lunettes. Localisez à la fois l'image formée par les lunettes et l'image finale.

(d) Supposons qu'elle utilise parfois des lentilles de contact au lieu de ses lunettes. La focale de ses lentilles doit-elle être inférieure, égale ou supérieure à celle de ses lunettes ? Expliquer.

41. Les yeux de Fred sont capables de se concentrer sur des choses aussi proches que 5,0 cm. Fred tient une loupe avec une distance focale de 3,0 cm à une hauteur de 2,0 cm au-dessus d'un ver plat. (a) Localisez l'image et trouvez le grossissement. (b) Sans la loupe, à quelle distance Fred voudrait-il voir le ver plat pour voir au mieux ses détails ? Avec la loupe ? (c) Calculez le grossissement angulaire.

42. Le panneau 1 de la figure montre l'optique à l'intérieur d'une paire de jumelles. Il s'agit essentiellement d'une paire de télescopes, un pour chaque œil. Mais pour les rendre plus compacts et permettre aux oculaires d'être à la bonne distance l'un de l'autre pour un visage humain, ils intègrent un ensemble de huit prismes, qui plient le trajet lumineux. De plus, les prismes rendent l'image droite. Le panneau 2 montre l'un de ces prismes, connu sous le nom de prisme de Porro. La lumière entre le long d'une normale, subit deux réflexions internes totales à des angles de 45 degrés par rapport aux surfaces arrière et sort le long d'une normale. L'image de la lettre R a été retournée horizontalement. Le panneau 3 montre une paire de ces prismes collés ensemble. L'image sera retournée horizontalement et verticalement, ce qui la rend orientée dans le bon sens pour l'utilisateur des jumelles.

(a) Trouvez l'indice de réfraction minimum possible pour le verre utilisé dans les prismes.
(b) Pour un matériau de cet indice de réfraction minimal, trouvez la fraction de la lumière entrante qui sera perdue par réflexion dans les quatre prismes de Porro de chaque côté d'une paire de jumelles. (Voir section 6.2.) Dans de vraies jumelles de haute qualité, les surfaces optiques des prismes ont des revêtements antireflet, mais effectuez votre calcul pour le cas où il n'y a pas un tel revêtement.
(c) Discutez des raisons pour lesquelles un concepteur de jumelles pourrait ou non vouloir utiliser un matériau ayant exactement l'indice de réfraction trouvé dans la partie a.

43. Ce serait ennuyeux si vos lunettes produisaient une image agrandie ou réduite. Montrer que lorsque l'œil est très proche d'une lentille et que la lentille produit une image virtuelle, le grossissement angulaire est toujours approximativement égal à 1 (que la lentille soit divergente ou convergente).

44. La figure montre un motif de diffraction réalisé par une double fente, ainsi qu'une image d'un mètre pour montrer l'échelle. Dessinez le motif de diffraction de la figure sur votre papier. Considérons maintenant les quatre variables de l'équation (lambda /d=sin heta /m). Lesquelles sont les mêmes pour les cinq franges et lesquelles sont différentes pour chaque frange ? Quelle variable utiliseriez-vous naturellement pour étiqueter quelle frange était quelle ? Étiquetez les franges sur votre croquis en utilisant les valeurs de cette variable.

45. Faites correspondre les réseaux A-C avec les diagrammes de diffraction 1 à 3 qu'ils produisent. Expliquer.

46. La figure ci-dessous montre deux diagrammes de diffraction. Celui du haut a été fait avec de la lumière jaune et celui du bas avec du rouge. Les fentes utilisées pour réaliser les deux motifs auraient-elles pu être les mêmes ?

47 . La figure p. 805 montre un motif de diffraction réalisé par une double fente, ainsi qu'une image d'un mètre pour montrer l'échelle. Les fentes se trouvaient à 146 cm de l'écran sur lequel le motif de diffraction était projeté. L'espacement des fentes était de 0,050 mm. Quelle était la longueur d'onde de la lumière ? (vérification des réponses disponible sur lightandmatter.com)

48. Pourquoi la lumière bleue ou violette serait-elle la meilleure pour la microscopie ?

49. La figure ci-dessous montre deux diagrammes de diffraction, tous deux réalisés avec la même longueur d'onde de lumière rouge. (a) Quel type de fentes a fait les motifs ? Est-ce une fente simple, des fentes doubles ou autre chose ? Expliquer. (b) Comparez les dimensions des fentes utilisées pour faire le patron du haut et du bas. Donnez un rapport numérique et indiquez de quel côté est le rapport, c'est-à-dire quel motif de fente était le plus grand. Expliquer.

50. Lorsque la lumière blanche traverse un réseau de diffraction, quelle est la plus petite valeur de (m) pour laquelle le spectre visible d'ordre (m) chevauche le suivant, d'ordre (m+1?) (Le visible le spectre va d'environ 400 nm à environ 700 nm.)

k / Problème 51. Cette image de l'amas d'étoiles des Pléiades montre des halos autour des étoiles en raison de la nature ondulatoire de la lumière.

51. Pour les images d'étoiles telles que celles de la figure y, estimez la largeur angulaire de la tache de diffraction due à la diffraction à l'embouchure du télescope. Supposons un télescope d'un diamètre de 10 mètres (le plus grand existant actuellement) et une lumière d'une longueur d'onde située au milieu du domaine visible. Comparez avec la taille angulaire réelle d'une étoile de diamètre (10^9) m vue à une distance de (10^<17>) m. Qu'est-ce que cela vous dit?

52. La figure ci-dessous montre trois diagrammes de diffraction. Tous ont été réalisés dans des conditions identiques, sauf qu'un ensemble différent de doubles fentes a été utilisé pour chacun. Les fentes utilisées pour réaliser le motif supérieur avaient une séparation de centre à centre (d=0,50) mm, et chaque fente avait une largeur de (w=0,04) mm. (a) Déterminez (d) et (w) pour les fentes utilisées pour faire le motif au milieu. (b) Faites de même pour les fentes utilisées pour faire le motif du bas.

53. (contrôle de réponse disponible sur lightandmatter.com) Le faisceau d'un laser traverse un réseau de diffraction, se déploie et illumine un mur perpendiculaire au faisceau d'origine, situé à une distance de 2,0 m du réseau. Le faisceau est produit par un laser hélium-néon et a une longueur d'onde de 694,3 nm. Le réseau a 2000 lignes par centimètre. (a) Quelle est la distance sur le mur entre le maximum central et les maximums immédiatement à sa droite et à sa gauche ? (b) Dans quelle mesure votre réponse change-t-elle lorsque vous utilisez les approximations aux petits angles ( hetaapproxsin hetaapprox an heta) ?

54. Les ultrasons, c'est-à-dire les ondes sonores dont les fréquences sont trop élevées pour être audibles, peuvent être utilisés pour l'imagerie des fœtus dans l'utérus ou pour briser les calculs rénaux afin qu'ils puissent être éliminés par le corps. Considérez cette dernière application. Des lentilles peuvent être construites pour focaliser les ondes sonores, mais comme la longueur d'onde du son n'est pas si petite par rapport au diamètre de la lentille, le son ne sera pas concentré exactement au point focal géométrique. Au lieu de cela, un motif de diffraction sera créé avec un point central intense entouré d'anneaux plus faibles. Environ 85% de la puissance est concentrée dans le point central. L'angle du premier minimum (entourant la tache centrale) est donné par (sin heta =lambda/b), où (b) est le diamètre de la lentille. Ceci est similaire à l'équation correspondante pour une seule fente, mais avec un facteur de 1,22 à l'avant qui découle de la forme circulaire de l'ouverture. Soit la distance de la lentille au calcul rénal du patient de (L=20) cm. Vous voudrez (f>20) kHz, pour que le son soit inaudible. Trouvez les valeurs de (b) et (f) qui aboutiraient à une conception utilisable, où la tache centrale est suffisamment petite pour se trouver dans un calcul rénal de 1 cm de diamètre.

55. Dans quelles circonstances pourrait-on obtenir un résultat mathématiquement indéfini en résolvant l'équation de diffraction à double fente pour ( heta ) ? Donner une interprétation physique de ce qui serait réellement observé.

56. Lorsque les ultrasons sont utilisés pour l'imagerie médicale, la fréquence peut atteindre 5-20 MHz. Une autre application médicale des ultrasons est le chauffage thérapeutique des tissus à l'intérieur du corps ici, la fréquence est généralement de 1 à 3 MHz. Quelles raisons physiques fondamentales pourriez-vous suggérer pour l'utilisation de fréquences plus élevées pour l'imagerie ?

57. Supposons que nous ayons une pièce polygonale dont les murs sont des miroirs, et qu'il y ait une source lumineuse ponctuelle dans la pièce. Dans la plupart de ces exemples, chaque point de la pièce finit par être éclairé par la source lumineuse après un nombre fini de réflexions. Une question mathématique difficile, posée pour la première fois au milieu du siècle dernier, est de savoir s'il est un jour possible d'avoir un exemple dans lequel toute la pièce est ne pas illuminé. (Les rayons sont supposés être absorbés s'ils frappent exactement un sommet du polygone, ou s'ils traversent exactement le plan d'un miroir.)

Le problème a finalement été résolu en 1995 par G.W. Tokarsky, qui a trouvé un exemple d'une pièce qui n'était pas illuminable à partir d'un certain point. La figure 57 montre un exemple un peu plus simple trouvé deux ans plus tard par D. Castro. Si une source lumineuse est placée à l'un des emplacements indiqués par des points, l'autre point reste éteint, bien que tous les autres points soient allumés. Il n'est pas simple de prouver rigoureusement que la solution de Castro possède cette propriété. Cependant, la plausibilité de la solution peut être démontrée comme suit.

Supposons que la source lumineuse soit placée sur le point de droite. Localisez toutes les images formées par des réflexions simples. Notez qu'ils forment un motif régulier. Convainquez-vous qu'aucune de ces images n'éclaire le point de gauche. En raison du motif régulier, il devient plausible que même si nous formons des images d'images, des images d'images d'images, etc., aucune d'entre elles n'éclairera jamais l'autre point.

Il existe diverses autres versions du problème, dont certaines restent non résolues. Le livre de Klee et Wagon donne une bonne introduction au sujet, bien qu'il soit antérieur aux travaux de Tokarsky et Castro.

Les références:
G.W. Tokarsky, &ldquoLes salles polygonales ne peuvent pas être éclairées de chaque point.&rdquo Amer. Math. Mensuel 102, 867-879, 1995.
D. Castro, &ldquoCorrections.&rdquo Quantum 7, 42, janvier 1997.
V. Klee et S. Wagon, Anciens et nouveaux problèmes non résolus en géométrie plane et théorie des nombres. Association mathématique d'Amérique, 1991.

58. Une tringlerie mécanique est un dispositif qui transforme un type de mouvement en un autre. L'exemple le plus familier se produit dans le moteur d'une voiture à essence, où une bielle change le mouvement linéaire du piston en un mouvement circulaire du vilebrequin. Le panneau supérieur de la figure montre une liaison mécanique inventée par Peaucellier en 1864 et indépendamment par Lipkin à la même époque. Il se compose de six tiges reliées par des charnières, les quatre courtes formant un losange. Le point O est fixe dans l'espace, mais l'appareil est libre de tourner autour de O. Le mouvement en P est transformé en un mouvement différent en ( ext

') (ou vice versa).

Géométriquement, la liaison est une mise en œuvre mécanique de l'ancien problème de l'inversion dans un cercle. Considérant le cas où le losange est plié à plat, soit le (k) la distance de O au point où P et ( ext

') coïncident. Former le cercle de rayon (k) avec son centre en O. Comme P et ( ext

') entre et sort, les points à l'intérieur du cercle sont toujours mappés aux points à l'extérieur, tels que (rr'=k^2). C'est-à-dire que la liaison est un type d'ordinateur analogique qui résout exactement le problème de trouver l'inverse d'un nombre (r). L'inversion dans un cercle a de nombreuses propriétés géométriques remarquables, discutées dans H.S.M. Coxeter, Introduction à la géométrie, Wiley, 1961. Si un stylo est inséré à travers un trou en P, et ( ext

') est tracée sur une figure géométrique, le lien de Peaucellier peut être utilisé pour dessiner une sorte d'image de la figure.

Un problème connexe est la construction d'images, comme celle du panneau inférieur de la figure, appelées anamorphes. Le dessin de la colonne sur le papier est fortement déformé, mais lorsque le cylindre réfléchissant est placé au bon endroit en haut de la page, une image non déformée est produite à l'intérieur du cylindre. (Les technologies de film grand format telles que Cinemascope sont basées sur des principes similaires.)

Montrer que la liaison de Peaucellier fait ne pas convertir correctement entre une image et son anamorphe, et concevoir une version modifiée du lien qui le fait. Une certaine connaissance de la géométrie analytique sera utile.

59. La figure montre une lentille avec des surfaces incurvées, mais dont l'épaisseur est constante le long de toute ligne horizontale. Utilisez l'équation du fabricant de lentilles pour prouver que ce &ldquolens&rdquo n'est pas vraiment un objectif. (solution dans la version pdf du livre)

60. Dans des conditions ordinaires, les gaz ont des indices de réfraction légèrement supérieurs à celui du vide, c'est-à-dire (n=1+epsilon), où (epsilon) est un petit nombre. Supposons qu'un rayon traverse une frontière entre une région de vide et une région dans laquelle l'indice de réfraction est (1+epsilon). Trouvez l'angle maximum par lequel un tel rayon peut être dévié, dans la limite du petit (epsilon). hwhint

61. Un miroir convergent a une distance focale (f). Un objet est situé à une distance ((1+epsilon)f) du miroir, où (epsilon) est petit. Trouvez la distance de l'image au miroir, en simplifiant votre résultat autant que possible en utilisant l'hypothèse que (epsilon) est petit. hwans


Vern Heeren a grandi dans la vallée de Sacramento en Californie. Après avoir obtenu un baccalauréat ès arts en mathématiques, avec une mineure en physique, à l'Occidental College, et avoir terminé sa maîtrise ès arts en mathématiques à l'Université de Californie à Davis, il a commencé une carrière d'enseignant de 38 ans à l'American River College, enseigner les mathématiques et un peu de physique. Il a co-écrit Mathematical Ideas en 1968 avec son collègue de bureau Charles Miller, et il a pris plaisir à faire des recherches et à les réviser au fil des ans. Ce fut une joie pour lui de terminer la treizième édition, avec le co-auteur de longue date John Hornsby, et maintenant aussi avec son fils Christopher. Ces jours-ci, en plus de poursuivre ses intérêts mathématiques, Vern aime passer du temps avec sa femme Carole et leur famille, à explorer les merveilles de la nature près de leur maison dans le centre de l'Oregon.

John Hornsby a rejoint l'équipe d'auteurs de Margaret Lial, Charles Miller et Vern Heeren en 1988. En 1990, la sixième édition de Mathematical Ideas est devenue le premier des près de 150 titres qu'il a co-écrit pour Scott Foresman, HarperCollins, Addison-Wesley et Pearson dans le années qui ont suivi. Ses livres couvrent les domaines de l'algèbre développementale et universitaire, du précalcul, de la trigonométrie et des mathématiques pour les arts libéraux. Il est natif et résident de New Roads, en Louisiane.

Christophe Heeren est originaire de Sacramento, en Californie. Pendant ses études d'ingénieur à l'université, il a eu l'occasion de donner un cours de mathématiques dans une école secondaire locale, ce qui a suscité à la fois une passion pour l'enseignement et un changement de majeure. Il a obtenu un baccalauréat ès arts et une maîtrise ès arts, tous deux en mathématiques, de la California State University¿—Sacramento. Chris a enseigné les mathématiques au collège, au lycée et au collège, et il enseigne actuellement à l'American River College de Sacramento. Il s'intéresse toujours à l'utilisation de la technologie pour donner vie aux mathématiques. Lorsqu'il n'écrit pas, n'enseigne pas ou ne se prépare pas à enseigner, Chris aime passer du temps avec sa charmante épouse Heather et leurs trois enfants (et deux chiens et un cochon d'Inde).


1- Si (40 \%) d'une classe sont des filles, et (25 \%) des filles jouent au tennis, quel pourcentage de la classe joue au tennis ?

4- En cinq heures consécutives, une voiture parcourt 40 km, 45 km, 50 km, 35 km et 55 km. Au cours des cinq prochaines heures, il se déplace à une vitesse moyenne de 50 km par heure. Trouvez la distance totale parcourue par la voiture en 10 heures.

5- Depuis l'an dernier, le prix de l'essence est passé de 1,25 $ le gallon à 1,75 $ le gallon. Le nouveau prix correspond à quel pourcentage du prix d'origine ?

6- Si (x) est un nombre réel, et si (x^3+18=130), alors (x) se situe entre quels deux entiers consécutifs ?

8- Si ((x-2)^3=27) laquelle des valeurs suivantes pourrait être la valeur de ((x-4)(x-3)) ?

10- Si tan ( heta = 5/12) et sin ( heta > 0), alors cos ( heta) =?


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ACT Math pour les débutants : le guide ultime étape par étape pour se préparer au test de mathématiques ACT

Il est temps d'affiner vos compétences en mathématiques avec un test pratique

Faites un test de mathématiques REAL ACT pour simuler l'expérience du jour du test. Une fois que vous avez terminé, notez votre test à l'aide du corrigé.

Avant de commencer

  • Vous aurez besoin d'un crayon, d'une calculatrice et d'une minuterie pour faire le test.
  • C'est bien de deviner. Vous ne perdrez aucun point si vous vous trompez. Assurez-vous donc de répondre à toutes les questions.
  • Une fois le test terminé, examinez le corrigé pour voir où vous vous êtes trompé.
  • Les calculatrices sont autorisées pour ACTTest mathématique.
  • Utilisez la feuille de réponses fournie pour noter vos réponses.
  • Le test de mathématiques ACT contient une feuille de formules, qui affiche des formules relatives à la mesure géométrique et à certains concepts d'algèbre. Des formules sont fournies aux candidats afin qu'ils puissent se concentrer sur l'application, plutôt que sur la mémorisation, des formules.
  • Pour chaque question à choix multiple, il y a cinq réponses possibles. Choisissez lequel est le meilleur.


13.4 : Faits sur la distribution F

Une statistique (F) peut avoir quelles valeurs ?

Qu'arrive-t-il aux courbes lorsque les degrés de liberté du numérateur et du dénominateur augmentent ?

Les courbes se rapprochent de la distribution normale.

Utilisez les informations suivantes pour répondre aux sept exercices suivants. Quatre équipes de basket-ball ont pris un échantillon aléatoire de joueurs concernant la hauteur à laquelle chaque joueur peut sauter (en pouces). Les résultats sont présentés dans le tableau.

Équipe 1 Équipe 2 Équipe 3 Équipe 4 Équipe 5
36 32 48 38 41
42 35 50 44 39
51 38 39 46 40

Que sont la somme des carrés et les facteurs carrés moyens ?

Quelles sont les erreurs de somme des carrés et des carrés moyens ?

Au seuil de signification de 5 %, y a-t-il une différence dans les hauteurs de saut moyennes entre les équipes ?

Utilisez les informations suivantes pour répondre aux sept exercices suivants. Un développeur de jeux vidéo teste un nouveau jeu sur trois groupes différents. Chaque groupe représente un marché cible différent pour le jeu. Le développeur collecte les scores à partir d'un échantillon aléatoire de chaque groupe. Les résultats sont présentés dans le tableau

groupe A Groupe B Groupe C
101 151 101
108 149 109
98 160 198
107 112 186
111 126 160

Au seuil de signification de 10 %, les scores entre les différents groupes sont-ils différents ?

Oui, il y a suffisamment de preuves pour montrer que les scores parmi les groupes sont statistiquement significatifs au niveau de 10 %.

Utilisez les informations suivantes pour répondre aux trois exercices suivants. Supposons qu'un groupe souhaite déterminer si les adolescents obtiennent leur permis de conduire à peu près au même âge moyen dans tout le pays. Supposons que les données suivantes soient recueillies au hasard auprès de cinq adolescents dans chaque région du pays. Les chiffres représentent l'âge auquel les adolescents ont obtenu leur permis de conduire.

Nord-Est Sud Ouest Central est
16.3 16.9 16.4 16.2 17.1
16.1 16.5 16.5 16.6 17.2
16.4 16.4 16.6 16.5 16.6
16.5 16.2 16.1 16.4 16.8
(ar =) ________ ________ ________ ________ ________
(s^ <2>=) ________ ________ ________ ________ ________

Entrez les données dans votre calculatrice ou votre ordinateur.

Énoncez les décisions et les conclusions (en phrases complètes) pour les niveaux préconçus suivants de (alpha).

Utilisez les informations suivantes pour répondre aux huit exercices suivants. Des groupes d'hommes de trois régions différentes du pays doivent être testés pour leur poids moyen. Les entrées dans le tableau sont les poids pour les différents groupes. Les résultats (ANOVA) à sens unique sont présentés dans le tableau.

Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3
216 202 170
198 213 165
240 284 182
187 228 197
176 210 201

Qu'est-ce que le facteur de somme des carrés ?

Quelle est l'erreur de somme des carrés ?

Quel est le (df) pour le numérateur ?

Quel est le (df) pour le dénominateur ?

Qu'est-ce que le facteur carré moyen ?

Qu'est-ce que l'erreur quadratique moyenne ?

Utilisez les informations suivantes pour répondre aux huit exercices suivants. Les filles de quatre équipes de football différentes doivent être testées pour la moyenne des buts marqués par match. Les entrées dans le tableau sont les buts par match pour les différentes équipes. Les résultats (ANOVA) à sens unique sont présentés dans le tableau.

Équipe 1 Équipe 2 Équipe 3 Équipe 4
1 2 0 3
2 3 1 4
0 2 1 4
3 4 0 3
2 4 0 2

Quel est le (df) pour le numérateur ?

Quel est le (df) pour le dénominateur ?

À en juger par la statistique (F), pensez-vous qu'il est probable ou improbable que vous rejetiez l'hypothèse nulle ?

Comme un test (ANOVA) unidirectionnel est toujours unidirectionnel, une statistique (F) élevée correspond à une (p ext<-value> faible), il est donc probable que nous rejetterons le hypothèse nulle.

Utilisez une feuille de solution pour effectuer les tests d'hypothèses suivants. La fiche solution se trouve dans [lien].

Q 13.4.1

Trois étudiants, Linda, Tuan et Javier, reçoivent chacun cinq rats de laboratoire pour une expérience nutritionnelle. Le poids de chaque rat est enregistré en grammes. Linda nourrit ses rats avec la Formule A, Tuan nourrit ses rats avec la Formule B et Javier nourrit ses rats avec la Formule C. À la fin d'une période de temps spécifiée, chaque rat est pesé à nouveau et le gain net en grammes est enregistré. En utilisant un niveau de signification de 10 %, testez l'hypothèse selon laquelle les trois formules produisent le même gain de poids moyen.

  1. (H_<0> : mu_ = mu_ = mu_)
  2. au moins deux des moyens sont différents
  3. (df( exte) = 2 df( exte) = 12)
  4. (F) répartition
  5. 0.67
  6. 0.5305
  7. Vérifiez la solution des étudiants.
  8. Décision : Ne pas rejeter l'hypothèse nulle Conclusion : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour conclure que les moyennes sont différentes.

Q 13.4.2

Un groupe populaire opposé à une proposition d'augmentation de la taxe sur l'essence a affirmé que l'augmentation ferait le plus mal aux gens de la classe ouvrière, car ce sont eux qui se rendent le plus loin au travail. Supposons que le groupe ait interrogé au hasard 24 personnes et leur ait demandé leur kilométrage journalier aller simple. Les résultats sont dans le tableau. À l'aide d'un niveau de signification de 5 %, testez l'hypothèse selon laquelle les trois kilomètres parcourus en moyenne sont les mêmes.

la classe ouvrière professionnel (revenus moyens) professionnel (riche)
17.8 16.5 8.5
26.7 17.4 6.3
49.4 22.0 4.6
9.4 7.4 12.6
65.4 9.4 11.0
47.1 2.1 28.6
19.5 6.4 15.4
51.2 13.9 9.3

Q 13.4.3

Examinez les sept tours d'entraînement de [lien]. Déterminez si le temps moyen au tour est statistiquement le même pour les sept tours d'essai, ou s'il y a au moins un tour qui a un temps moyen différent des autres.

S 13.4.3

  1. (H_<0>: mu_ <1>= mu_ <2>= mu_ <3>= mu_ <4>= mu_ <5>= mu_ <6>= mu_)
  2. Au moins deux temps moyens au tour sont différents.
  3. (df( exte) = 6 df( exte) = 98)
  4. (F) répartition
  5. 1.69
  6. 0.1319
  7. Vérifiez la solution des étudiants.
  8. Décision : Ne pas rejeter l'hypothèse nulle Conclusion : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour conclure que les temps moyens au tour sont différents.

Utilisez les informations suivantes pour répondre aux deux exercices suivants. Le tableau répertorie le nombre de pages dans quatre types de magazines différents.

décoration de la maison nouvelles santé l'ordinateur
172 87 82 104
286 94 153 136
163 123 87 98
205 106 103 207
197 101 96 146

Q 13.4.4

À l'aide d'un niveau de signification de 5 %, testez l'hypothèse selon laquelle les quatre types de magazines ont la même longueur moyenne.

Q 13.4.5

Éliminez un type de magazine qui, selon vous, a maintenant une longueur moyenne différente des autres. Refaire le test d'hypothèse, en vérifiant que les trois moyennes restantes sont statistiquement les mêmes. Utilisez une nouvelle feuille de solution. Sur la base de ce test, les longueurs moyennes des trois magasins restants sont-elles statistiquement les mêmes ?

13.4.6

  1. (H_ : mu_ = mu_ = mu_)
  2. Au moins deux des magazines ont des longueurs moyennes différentes.
  3. (df( exte) = 2, df( exte) = 12)
  4. distribution (F)
  5. (F = 15,28)
  6. (p exte <-valeur>= 0,001)
  7. Vérifiez la solution des étudiants.
    1. (alpha : 0,05)
    2. Décision : rejeter l'hypothèse nulle.
    3. Motif de la décision : (p ext <-value>< alpha)
    4. Conclusion : Il existe suffisamment de preuves pour conclure que les longueurs moyennes des chargeurs sont différentes.

    Q 13.4.7

    Un chercheur veut savoir si les temps moyens (en minutes) pendant lesquels les gens regardent leur station d'information préférée sont les mêmes. Supposons que le tableau montre les résultats d'une étude.

    CNN RENARD Local
    45 15 72
    12 43 37
    18 68 56
    38 50 60
    23 31 51
    35 22

    Supposons que toutes les distributions sont normales, que les quatre écarts types de population sont approximativement les mêmes et que les données ont été collectées de manière indépendante et aléatoire. Utilisez un niveau de signification de 0,05.

    Q 13.4.8

    Les moyens pour les examens finaux sont-ils les mêmes pour tous les types de cours de statistiques ? Le tableau montre les scores aux examens finaux de plusieurs classes sélectionnées au hasard qui ont utilisé les différents types de prestation.

    En ligne Hybride Face à face
    72 83 80
    84 73 78
    77 84 84
    80 81 81
    81 86
    79
    82

    Supposons que toutes les distributions sont normales, que les quatre écarts types de population sont approximativement les mêmes et que les données ont été collectées de manière indépendante et aléatoire. Utilisez un niveau de signification de 0,05.

    S 13.4.8

    1. (H_<0> : mu_ = mu_ = mu_)
    2. Au moins deux des moyens sont différents.
    3. (df( exte) = 2, df( exte) = 13)
    4. (F_<2,13>)
    5. 0.64
    6. 0.5437
    7. Vérifiez la solution des étudiants.
      1. (alpha : 0,05)
      2. Décision : ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
      3. Motif de la décision : (p ext <-value>< alpha)
      4. Conclusion : Les scores moyens des différents cours dispensés ne sont pas différents.

      Q 13.4.9

      Le nombre moyen de fois par mois qu'une personne mange au restaurant est-il le même pour les Blancs, les Noirs, les Hispaniques et les Asiatiques ? Supposons que le tableau montre les résultats d'une étude.

      blanc Noir hispanique asiatique
      6 4 7 8
      8 1 3 3
      2 5 5 5
      4 2 4 1
      6 6 7

      Supposons que toutes les distributions sont normales, que les quatre écarts types de population sont approximativement les mêmes et que les données ont été collectées de manière indépendante et aléatoire. Utilisez un niveau de signification de 0,05.

      Q 13.4.10

      Les nombres moyens de visiteurs quotidiens d'une station de ski sont-ils les mêmes pour les trois types d'enneigement ? Supposons que le tableau montre les résultats d'une étude.

      Poudre Fait à la machine Dur emballé
      1,210 2,107 2,846
      1,080 1,149 1,638
      1,537 862 2,019
      941 1,870 1,178
      1,528 2,233
      1,382

      Supposons que toutes les distributions sont normales, que les quatre écarts types de population sont approximativement les mêmes et que les données ont été collectées de manière indépendante et aléatoire. Utilisez un niveau de signification de 0,05.

      S 13.4.11

      1. (H_<0> : mu_

        = mu_ = mu_)

      2. Au moins deux des moyens sont différents.
      3. (df( exte) = 2, df( exte) = 12)
      4. (F_<2,12>)
      5. 3.13
      6. 0.0807
      7. Vérifiez la solution des étudiants.
        1. (alpha : 0,05)
        2. Décision : ne pas rejeter l'hypothèse nulle.
        3. Motif de la décision : (p ext <-value>< alpha)
        4. Conclusion : Il n'y a pas de preuves suffisantes pour conclure que les nombres moyens de visiteurs quotidiens sont différents.

        Q 13.4.12

        Sanjay a fabriqué des avions en papier identiques à partir de trois poids de papier différents, léger, moyen et lourd. Il a fabriqué quatre avions à partir de chacun des poids et les a lancés lui-même à travers la pièce. Voici les distances (en mètres) que ses avions ont parcourues.

        Type de papier/Essai Essai 1 Essai 2 Essai 3 Essai 4
        Lourd 5,1 mètres 3,1 mètres 4,7 mètres 5,3 mètres
        Moyen 4 mètres 3,5 mètres 4,5 mètres 6,1 mètres
        Lumière 3,1 mètres 3,3 mètres 2,1 mètres 1,9 mètres


        Graphique 13.4.1.

        1. Jetez un œil aux données du graphique. Regardez la répartition des données pour chaque groupe (léger, moyen, lourd). Est-il raisonnable de supposer une distribution normale avec la même variance pour chaque groupe ? Oui ou non.
        2. Pourquoi est-ce une conception équilibrée?
        3. Calculer la moyenne de l'échantillon et l'écart type de l'échantillon pour chaque groupe.
        4. Le poids du papier a-t-il un effet sur la distance parcourue par l'avion ? Utilisez un niveau de signification de 1%. Complétez le test en utilisant la méthode indiquée dans l'exemple de plant de haricots dans l'exemple.
          • variance du groupe signifie __________
          • (MS_< exte> =) ___________
          • moyenne des trois variances de l'échantillon ___________
          • (MS_< exte> =) _____________
          • (F) statistique = ____________
          • (df( exte) =) __________, (df( exte) =) ___________
          • nombre de groupes _______
          • nombre d'observations _______
          • (p exte <-valeur>=) __________ ((P(F >) _______() =) __________)
          • Représentez graphiquement le (p ext<-value>).
          • décision : _______________________
          • conclusion: _______________________________________________________________

        Q 13.4.13

        Le DDT est un pesticide dont l'utilisation a été interdite aux États-Unis et dans la plupart des autres régions du monde. Il est assez efficace, mais a persisté dans l'environnement et est devenu avec le temps considéré comme nocif pour les organismes de niveau supérieur. On croyait que les coquilles d'œufs d'aigles et d'autres rapaces étaient plus minces et sujettes à la rupture dans le nid en raison de l'ingestion de DDT dans la chaîne alimentaire des oiseaux.

        Une expérience a été menée sur le nombre d'œufs (fécondité) pondus par les mouches des fruits femelles. Il existe trois groupes de mouches. Un groupe a été sélectionné pour être résistant au DDT (le groupe RS). Un autre a été élevé pour être particulièrement sensible au DDT (SS). Enfin, il y avait une lignée témoin de mouches des fruits non sélectionnées ou typiques (NS). Voici les données :

        RS SS N.-É. RS SS N.-É.
        12.8 38.4 35.4 22.4 23.1 22.6
        21.6 32.9 27.4 27.5 29.4 40.4
        14.8 48.5 19.3 20.3 16 34.4
        23.1 20.9 41.8 38.7 20.1 30.4
        34.6 11.6 20.3 26.4 23.3 14.9
        19.7 22.3 37.6 23.7 22.9 51.8
        22.6 30.2 36.9 26.1 22.5 33.8
        29.6 33.4 37.3 29.5 15.1 37.9
        16.4 26.7 28.2 38.6 31 29.5
        20.3 39 23.4 44.4 16.9 42.4
        29.3 12.8 33.7 23.2 16.1 36.6
        14.9 14.6 29.2 23.6 10.8 47.4
        27.3 12.2 41.7

        Les valeurs sont le nombre moyen d'œufs pondus quotidiennement pour chacune des 75 mouches (25 dans chaque groupe) au cours des 14 premiers jours de leur vie. En utilisant un niveau de signification de 1 %, les taux moyens de sélection d'œufs pour les trois souches de mouches des fruits sont-ils différents ? Si oui, de quelle manière ? Plus précisément, les chercheurs voulaient savoir si les souches sélectionnées de manière sélective étaient différentes de la lignée non sélectionnée et si les deux lignées sélectionnées étaient différentes l'une de l'autre.

        Voici un tableau des trois groupes :

        Graphique 13.4.2.

        S 13.4.13

        Les données apparaissent normalement distribuées à partir du graphique et de répartition similaire. Il ne semble pas y avoir de valeurs aberrantes sérieuses, nous pouvons donc procéder à nos calculs ANOVA, pour voir si nous avons de bonnes preuves d'une différence entre les trois groupes.

        Définissez (mu_<1>, mu_<2>, mu_<3>), comme le nombre moyen d'œufs pondus par les trois groupes de mouches des fruits.

        Graphique 13.4.3.

        Décision: Puisque le (p ext<-value>) est inférieur au niveau de signification de 0,01, nous rejetons l'hypothèse nulle.

        Conclusion: Nous avons de bonnes preuves que le nombre moyen d'œufs pondus au cours des 14 premiers jours de vie pour ces trois souches de mouches des fruits est différent.

        Fait intéressant, si vous effectuez un test (t) à deux échantillons pour comparer les groupes RS et NS, ils sont significativement différents ((p = 0,0013)). De même, SS et NS sont significativement différents ((p = 0,0006)). Cependant, les deux groupes sélectionnés, RS et SS ne sont pas significativement différents ((p = 0,5176)). Ainsi, nous semblons avoir de bonnes preuves que la sélection soit pour la résistance soit pour la sensibilité implique un taux de production d'œufs réduit (pour ces souches spécifiques) par rapport aux mouches qui n'ont pas été sélectionnées pour la résistance ou la sensibilité au DDT. Ici, la sélection génétique a apparemment impliqué une perte de fécondité.

        Q 13.4.14

        Les données présentées sont les températures corporelles enregistrées de 130 sujets, estimées à partir des histogrammes disponibles.

        Traditionnellement, on nous enseigne que la température normale du corps humain est de 98,6 F. Ce n'est pas tout à fait correct pour tout le monde. Les températures moyennes entre les quatre groupes sont-elles différentes ?

        Calculez les intervalles de confiance à 95 % pour la température corporelle moyenne dans chaque groupe et commentez les intervalles de confiance.

        Floride FH ML MH Floride FH ML MH
        96.4 96.8 96.3 96.9 98.4 98.6 98.1 98.6
        96.7 97.7 96.7 97 98.7 98.6 98.1 98.6
        97.2 97.8 97.1 97.1 98.7 98.6 98.2 98.7
        97.2 97.9 97.2 97.1 98.7 98.7 98.2 98.8
        97.4 98 97.3 97.4 98.7 98.7 98.2 98.8
        97.6 98 97.4 97.5 98.8 98.8 98.2 98.8
        97.7 98 97.4 97.6 98.8 98.8 98.3 98.9
        97.8 98 97.4 97.7 98.8 98.8 98.4 99
        97.8 98.1 97.5 97.8 98.8 98.9 98.4 99
        97.9 98.3 97.6 97.9 99.2 99 98.5 99
        97.9 98.3 97.6 98 99.3 99 98.5 99.2
        98 98.3 97.8 98 99.1 98.6 99.5
        98.2 98.4 97.8 98 99.1 98.6
        98.2 98.4 97.8 98.3 99.2 98.7
        98.2 98.4 97.9 98.4 99.4 99.1
        98.2 98.4 98 98.4 99.9 99.3
        98.2 98.5 98 98.6 100 99.4
        98.2 98.6 98 98.6 100.8


        Questions avancées sur la pratique de l'algèbre

        2. Le salaire de Peter est le double du salaire d'Ann et la moitié du salaire de David. Ensuite, le salaire moyen d'Ann et David est le salaire de Peter.

        une. égal à
        b. plus grand que
        c. dépend du salaire
        ré. il n'y a pas de bonne réponse

        3. Ann et Kate ont 80 dollars ensemble. Si Kate achète une glace pour 5 dollars, alors Kate aura le double de l'argent d'Ann. Combien d'argent Anne a-t-elle ?

        4. Soit : a=b+2c, b=3c. Quelle est la moyenne des nombres a, b et c ?

        une. c
        b. 1.5c
        c. 2c
        ré. 2 1/3 c
        e. 3c

        5. Dans une forêt, 4/7 de tous les arbres sont des conifères et le reste des feuilles. Parmi les arbres à feuilles, 7/15 sont des chênes et 2/3 de ces chênes sont neufs. Il y a 160 vieux chênes dans la forêt. Combien y a-t-il d'arbres en tout dans la forêt ?

        une. 2400
        b. 2800
        c. 3200
        ré. 3600
        e. 4000

        6. Trouver x+y, si : 2x+3y=8 et 3x+5y=13

        7. La vitesse d'une voiture est 20 % inférieure à la vitesse d'une deuxième voiture. De quel pourcentage de temps supplémentaire la première voiture a-t-elle besoin pour parcourir le même itinéraire que la deuxième voiture ?

        8. Le nombre de garçons dans une classe est le double du nombre de filles. 20% des filles sont brunes et du reste – la moitié sont blondes : Mary, Clara, Gina et Trisha. Combien de garçons étudient dans cette classe ?

        9. Dans la question précédente – quelle partie de tous les élèves sont des filles brunes ?

        10. Si la moyenne de trois nombres est V. Si l'un des nombres est Z et un autre est Y, quel est le nombre restant ?

        une. ZY-V
        b. Z/V – 3 – Y
        c. Z/3 – V – Y
        ré. 3V-Z-Y
        e. V-Z-Y

        11. Deux cyclistes partent du départ d'un sentier à 3 heures d'intervalle. Le deuxième cycliste roule à 10 milles à l'heure et démarre 3 heures après le premier cycliste qui roule à 6 milles à l'heure. Combien de temps s'écoulera avant que le deuxième cycliste ne rattrape le premier à partir du moment où le deuxième cycliste a commencé à faire du vélo ?

        une. 2 heures
        b. 4h30
        c. 5 ¾ heures
        ré. 6 heures
        e. 7h30

        12. Jim peut remplir une piscine avec des seaux d'eau en 30 minutes. Sue peut faire le même travail en 45 minutes. Tony peut faire le même travail en 1h30. À quelle vitesse tous les trois peuvent-ils remplir la piscine ensemble ?

        une. 12 minutes
        b. 15 minutes
        c. 21 minutes
        ré. 23 minutes
        e. 28 minutes

        13. Marie révise son quiz d'algèbre. Elle a déterminé que l'une de ses solutions est incorrecte. Laquelle est-ce?

        une. 2x + 5 (x-1) = 9 x = 2
        b. p – 3(p-5) = 10 p = 2,5
        c. 4 ans + 3 ans = 28 ans = 4
        ré. 5 w + 6 w - 3 w = 64 w = 8
        e. t – 2t – 3t = 32 t = 8


        13.E : Exercices - Mathématiques

        Bienvenue dans MATH 232B : Théorie des schémas

        Heure de la réunion: MW 10h30 - 11h45 @ SC 411
        passer à WF 10h30 - 11h45 @ SC 411 à partir du 2 mars

        Référence majeure :

        Autre référence :

        • La géométrie des schémas par David Eisenbud et Joe Harris
        • Géométrie algébrique de base 2 : schémas et variétés complexes par Igor R. Shafarevich
        • Géométrie algébrique par Robin Hartshorne par Vakil

        Informations de contact:

        Man Wai (Mandy) Cheung @ Science Center salle 505H
        Heure de bureau: Mar 9-10h Jeudi 9-10h
        Envoyez-moi un e-mail pour planifier une réunion si vous ne pouvez pas vous rendre à ces heures de bureau.

        • Ensemble de problèmes 1 : Hartshorne II. 1.3, 1.17, 1.21 + Question 1-4 dans PS 1 (à rendre le 12 février)
        • Ensemble de problèmes 2 : Hartshorne II. 2.3, 2.5, 2.7, 2.13 + E & H Exercice II-12 + III-6 (à prévoir le 26 février)
        • Ensemble de problèmes 3 : Hartshorne II. 3.7, 3.8, 3.10, 3.11 + E & H Exercice II-25 (prévu le 11 mars)
        • Ensemble de problèmes 4 : Hartshorne I. 6.2 II. 4.1, 4.7, 4.12, 6.1 (échéance le 1er avril)
        • Série de problèmes 5 : Hartshorne II. 5.3, 5.8, 6.2, 6.6 (échéance le 15 avril)
        • Série de problèmes 6 : Hartshorne II. 5.13, 5.14, 7.7, 8.4, 8.5, 8.6 (facultatif)

        Horaire de la classe :

        27 janvier -- Pré-réas, réas
        29 janvier -- Espace annelé, prévariétés, collage de prévariétés, Spec A
        3 février -- espace encerclé localement, schéma affine
        5 février -- point de valeur k, schéma réduit, exemples de schéma non réduit, multiplicités
        7 février -- collage de schémas, schéma projectif
        10 fév -- schéma réduit, intégral et irréductible sur un corps algébrique clos, noethérien
        12 février -- morphisme type fini, immersion fermée, sous-schéma fermé, point plongé
        19 février -- produit fibreux
        21 février -- famille plate de schémas, hypersurfaces universelles
        26 février -- morphismes séparés et propres
        4 mars -- morphismes séparés et propres (continuer)
        11 mars -- diviseurs
        Vacances de printemps
        25 mars -- diviseurs (continue), diviseurs sur les courbes
        27 mars -- diviseurs de Cartier
        1er avril -- courbes elliptiques, réas inversibles
        3 avr -- Groupe Picard, gerbes de modules
        8 avril -- Faisceaux quasi-cohérents, faisceaux vectoriels
        10 avril -- Morphismes projectifs
        15 avril -- Ampleur, systèmes linéaires
        17 avril -- Différentiels
        22 avril -- Courbes, Riemann-Roch
        24 avril -- Surfaces
        (27 avril) -- Transformation monôme
        29 avril -- Surface cubique (27 lignes !)


        Voir la vidéo: Exercices 13 et 14 et 15 et 16 et 17 et 18 et 19 pages 146 et 147 1er AC MAXI math (Décembre 2021).