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1.5 : Union, Intersection, Différence - Mathématiques


1.5 : Union, Intersection, Différence - Mathématiques

Différence entre union et intersection

Avant de comprendre la différence entre les deux opérateurs ensemblistes union et intersection, commençons par comprendre le concept de théorie des ensembles. La théorie des ensembles est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les ensembles, en particulier si un objet appartient ou n'appartient pas à un ensemble d'objets qui sont en quelque sorte des mathématiques pertinentes. L'ensemble est essentiellement une collection d'objets bien définis, qui peuvent ou non avoir une pertinence mathématique, tels que des nombres ou des fonctions. Les objets d'un ensemble sont appelés éléments, qui peuvent être n'importe quoi comme des nombres, des personnes, des voitures, des états, etc. Presque tout et n'importe quel nombre d'éléments peuvent être rassemblés pour créer un ensemble.

En termes simples, l'ensemble est une collection d'un nombre quelconque d'éléments non ordonnés qui peuvent être considérés comme un seul objet dans son ensemble. Comprenons les concepts de base et la notation d'un ensemble et comment il est représenté. Tout commence par une relation binaire entre un objet x et un ensemble A. Pour représenter si x est membre d'un ensemble A, la notation x ∊ A est utilisée, tandis que x ∉ A indique que l'objet x n'appartient pas au ensemble A. Les membres d'un ensemble sont répertoriés entre accolades. Par exemple, l'ensemble des nombres premiers inférieurs à 10 peut s'écrire <2, 3, 5, 7>. De même, un ensemble de nombres pairs inférieur à 10 peut être écrit sous la forme <2, 4, 6, 8>. Hypothétiquement, presque n'importe quel ensemble fini peut être représenté par ses membres.


1.5 : Union, Intersection, Différence - Mathématiques

Théorie des ensembles. Union, intersection, complément, différence. Diagramme de Venn. Algèbre des ensembles. Ensemble dénombrable. Cardinalité. Ensembles indexés. Produit cartésien. Fonction de projection. Cloison. Ensembles partiellement, linéairement et bien ordonnés.

Déf. Ensemble. Toute collection d'objets.

Aucune restriction n'est imposée sur la nature des objets d'un ensemble. Ils peuvent être n'importe quoi : des points, des lignes, des nombres, des personnes, des pays, etc. Ainsi, le sens mathématique du mot ensemble est le même que le sens normal et non technique du mot.

  - tous les points d'un segment de ligne donné

  - toutes les lignes passant par un point donné dans l'espace

  - l'ensemble de tous les nombres rationnels

  - toutes les solutions de l'équation 3x 2 + 2y 2 - 1 = 0

Les objets individuels d'un ensemble sont appelés membres ou éléments de l'ensemble.

Synonymes de set : Collection , class ,aggregate, ensemble

Méthodes de définition des ensembles. Un ensemble peut être défini de deux manières :

   1) énumérant explicitement chacun des éléments de l'ensemble, par ex. l'ensemble <2, 3, 4, 5>.

   2) décrire l'ensemble en indiquant les propriétés qui le définissent, par ex. l'ensemble de tous les chats noirs de France.

La première méthode s'appelle la méthode roster et la seconde méthode s'appelle la méthode property .

Notation. Les ensembles sont généralement désignés par des lettres majuscules telles que A, B, X, S, etc. et les éléments qu'ils contiennent par des lettres minuscules telles que a, b, x, s, etc. Lorsque la méthode roster est utilisée pour définir un ensemble , les éléments de l'ensemble sont généralement mis entre accolades et séparés par des virgules, par exemple S = <3, 5, 7, 9>est l'ensemble S composé des éléments 3, 5, 7, 9. La notation x S signifie que x est un élément de S x ∉S signifie que x n'est pas un élément de S Pour indiquer un ensemble d'objets ayant la propriété P, la notation est utilisé. La notation est appelé un constructeur d'ensembles. Le bar “ | ” est lu “tel que.” Exemple. S = , qui est l'ensemble de tous les entiers pairs. Certains auteurs utilisent les deux points : au lieu de la barre c'est-à-dire S = .

Déf. Ensembles égaux. Ensembles constitués des mêmes éléments.

Deux ensembles A et B sont dits égaux si chaque élément de A est un élément de B et chaque élément de B est un élément de A. L'égalité des ensembles A et B est notée A = B. Inégalité de deux ensembles A et B est noté A ≠ B.

● Les ensembles A = <3, 4, 5, 6>et B = <5, 3, 4, 6>sont égaux puisque l'ordre dans lequel les éléments d'ensemble sont répertoriés n'a pas d'importance.

● Les ensembles A = <4, 5, 6>et B = <4, 5, 5, 6>sont égaux puisque répéter un élément d'un ensemble ne change pas l'ensemble.

Déf. Sous-ensemble. Soit S un ensemble donné. Tout ensemble A, dont chacun des éléments est aussi un élément de S, est dit contenu dans S et appelé sous-ensemble de S.

Exemple. Les ensembles A = <5>, B = <3, 4, 5> et C = <6, 7) sont tous des sous-ensembles de S = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8>. En examinant la définition, nous notons que l'ensemble S est qualifié de sous-ensemble de S. Ainsi, tout ensemble est un sous-ensemble de lui-même.

Nous écrivons “A est un sous-ensemble de S” comme A S.

Déf. Sous-ensemble approprié. Si A est un sous-ensemble de S et A ≠ S, alors A est appelé un sous-ensemble propre de S. Dans l'exemple ci-dessus, les ensembles A, B et C sont tous des sous-ensembles propres de S.

Si A est un sous-ensemble de S, alors on peut aussi écrire

qui est lu “S est un sur-ensemble de A”.

Noter. Certains auteurs utilisent A S pour indiquer que A est un sous-ensemble de S et réservent A B pour indiquer que A est un sous-ensemble propre de S.

Théorème. Si A B et B C, alors A C.

L'ensemble vide (ou nul) ∅ . Aussi illogique que cela puisse paraître, il est commode et utile d'avoir le concept d'ensemble vide, un ensemble ne contenant aucun élément. Nous appelons un tel ensemble l'ensemble vide (ou nul) et le notons ∅.

L'ensemble nul ∅ est considéré comme un sous-ensemble de chaque ensemble.

Ensemble universel U. Souvent, une discussion implique des sous-ensembles d'un ensemble particulier appelé univers du discours (ou brièvement univers), ensemble universel ou espace. Les éléments d'un espace sont souvent appelés les points de l'espace. On note l'ensemble universel par U.

Exemple. L'ensemble de tous les entiers pairs pourrait être considéré comme un sous-ensemble d'un ensemble universel composé de tous les entiers. Ou ils pourraient être considérés comme un sous-ensemble d'un ensemble universel composé de tous les nombres rationnels. Ou de tous les nombres réels.

Souvent, l'ensemble universel peut ne pas être explicitement énoncé et il peut être difficile de savoir de quoi il s'agit. À d'autres moments, ce sera clair.

Complément d'un ensemble. Le complément d'un ensemble A par rapport à un ensemble universel donné U est l'ensemble des éléments de U qui ne sont pas dans A. Le complément de A est typiquement noté A c ou A'.

Ensembles finis et infinis. Un ensemble fini est un ensemble avec un nombre fini d'éléments et un ensemble infini est un ensemble avec un nombre infini d'éléments.

● L'ensemble de tous les chats noirs de France est un ensemble fini.

● L'ensemble de tous les entiers pairs est un ensemble infini.

Comparabilité. Deux ensembles A et B sont dits comparables si

c'est-à-dire si l'un des ensembles est un sous-ensemble de l'autre. Deux ensembles A et B sont dits non comparables si

On constate ainsi que si deux ensembles A et B ne sont pas comparables il y a forcément un élément dans A qui n'est pas dans B et un élément dans B qui n'est pas dans A.

Déf. Ensembles disjoints. Deux ensembles sont appelés disjoints s'ils n'ont aucun élément en commun, c'est-à-dire que l'intersection des ensembles est l'ensemble nul. Un système de plus de deux ensembles est disjoint par paires (parfois appelé simplement disjoint ) si chaque paire d'ensembles du système est disjointe.

Ensembles d'ensembles. Parfois, les membres d'un ensemble sont eux-mêmes des ensembles. Si les membres d'un ensemble A sont eux-mêmes des ensembles, il est courant d'appeler A une “famille d'ensembles” ou une “classe d'ensembles” plutôt que de l'appeler “ensemble d'ensembles”.

Exemple. Une famille de lignes en géométrie peut être considérée comme un ensemble d'ensembles puisque les lignes peuvent être considérées comme des ensembles de points.

Déf. Ensemble de puissance d'un ensemble. La collection de tous les sous-ensembles de l'ensemble. L'ensemble de puissance d'un ensemble A, noté P(A) ou 2 A , est l'ensemble constitué de tous les sous-ensembles de A.

Exemple. L'ensemble de puissance de A = est l'ensemble

En général, si A est fini à n éléments, P(a) aura 2 n éléments.

Union d'ensembles. L'union de deux ensembles A et B est l'ensemble constitué de tous les éléments de A plus tous les éléments de B et est noté A & 8746B ou A + B.

Intersection d'ensembles. L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble constitué de tous les éléments qui apparaissent à la fois dans A et B (c'est-à-dire tous les éléments communs aux deux) et est noté A & 8745B, A & 903 B ou AB.

Différence de deux ensembles. L'ensemble constitué de tous les éléments d'un ensemble A qui n'appartiennent pas à un ensemble B est appelé la différence de A et B et noté A - B.

Exemple. Si A = et B = alors A - B = .

Diagrammes de Venn. L'union, l'intersection, la différence et le complément d'ensembles peuvent être représentés graphiquement au moyen de diagrammes de Venn. Dans un diagramme de Venn, l'univers U est représenté par des points à l'intérieur d'un rectangle et les ensembles A, B, C, etc. sont représentés par des points à l'intérieur de cercles à l'intérieur du rectangle. La figure 1 représente graphiquement l'union A & 8746B de deux ensembles A et B, la figure 2 représente l'intersection A & 8745B de deux ensembles A et B, la figure 3 représente la différence A - B de deux ensembles A et B et la figure 4 représente le complément d'un ensemble A.

Algèbre des ensembles. Soit A, B, C trois sous-ensembles quelconques d'un univers U. Alors les lois suivantes s'appliquent :

  (a) Il existe un ensemble unique

  (b) Il existe un ensemble unique  

6. Propriétés de l'univers U . Lois identitaires

7. Propriétés de l'ensemble nul ∅ . Lois identitaires

8. Propriétés d'inclusion

9. Propriétés du complément

Déclarations doubles. Si nous échangeons ∩ et ∪, U et ∅, et ⊂ et ⊃ dans n'importe quelle instruction about, la nouvelle instruction est appelée le dual de l'original.

Principe de dualité. Si dans une déclaration vraie sur les ensembles, nous échangeons ∩ et ∪, U et ∅, et et , la déclaration résultante est également vraie. C'est-à-dire que le dual de toute déclaration vraie est également vrai.

Déf. Correspondance en tête à tête. Correspondance entre les membres de deux ensembles dans laquelle chaque membre de l'un ou l'autre ensemble est apparié avec exactement un membre de l'autre ensemble.

Synonymes. bijection, fonction un-à-un, mappage un-à-un, transformation un-à-un

Exemple. Une correspondance un à un entre les deux ensembles et <1, 2, 3, 4, 5>est donné par l'appariement

Déf. Ensembles équivalents. Ensembles pouvant être mis en correspondance un à un. Si l'ensemble A est équivalent à l'ensemble B, on écrit A

Synonymes. ensembles équidénombrables, ensembles équipotents

Déf. Ensemble dénombrable (ou dénombrable). (1) Un ensemble infini dont les membres peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les entiers positifs. Syn. dénombrable, dénombrable, dénombrable, dénombrable infini. (2) Un ensemble qui a un nombre fini de membres ou peut être mis en correspondance biunivoque avec les entiers positifs.

Il existe une certaine variation dans l'utilisation du terme "ensemble dénombrable", certains auteurs utilisant la définition (1) et d'autres utilisant la définition (2). Nous utiliserons la définition (1).

L'ensemble de tous les nombres entiers et de tous les nombres rationnels est dénombrable, mais l'ensemble de tous les nombres réels ne l'est pas.

Un ensemble qui ne peut pas être mis en correspondance un à un avec les entiers positifs est appelé non dénombrable ou non dénombrable .

Théorème 1. L'ensemble de tous les nombres rationnels est dénombrable.

Preuve. Disposons les nombres rationnels de la manière indiquée dans le tableau 1. Tous les nombres naturels sont placés dans la première rangée comme indiqué, zéro et les nombres négatifs sont placés dans la deuxième rangée par ordre décroissant comme indiqué, fractions réduites positives de dénominateur 2 sont mises au troisième rang par ordre croissant, les fractions réduites négatives de dénominateur 2 sont mises au quatrième rang par ordre décroissant, etc. On constate que chaque nombre rationnel apparaît une et une seule fois dans le tableau. Écrivons maintenant tous les nombres du tableau dans l'ordre indiqué par les flèches. On obtient la séquence suivante :

Nous avons ainsi conçu un schéma pour écrire tous les nombres rationnels en une seule séquence et avons ainsi montré qu'ils peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels. Ainsi nous avons montré que les nombres rationnels sont dénombrables.

Théorème 2. L'intervalle fermé [0, 1] est non dénombrable.

Déf. Nombre cardinal . Un nombre qui indique la multiplicité d'un ensemble de choses, c'est-à-dire le nombre d'unités, et non l'ordre dans lequel elles sont disposées.

Numéro cardinal d'un ensemble. On dit que deux ensembles ont le même nombre cardinal si et seulement s'ils peuvent être mis en correspondance biunivoque, c'est-à-dire si et seulement s'ils sont équivalents.

On dit qu'un ensemble A a le nombre cardinal n si et seulement s'il existe une correspondance biunivoque entre les éléments de A et les nombres naturels 1, 2, 3, . , n.

Synonymes. Le nombre cardinal d'un ensemble est également appelé puissance de l'ensemble ou puissance de l'ensemble.

Nombre cardinal d'un ensemble dénombrable (dénombrable infini). Le nombre cardinal d'un ensemble dénombrable (ou dénombrable infini) est appelé Aleph-null ou Aleph-zero et est noté N 0 . C'est le nombre cardinal des nombres naturels 1, 2, 3, .

Nombre cardinal du continu. Le nombre cardinal du continu est défini comme le nombre cardinal de l'intervalle [0, 1]. Le nombre cardinal du continu est noté soit N 1 ou c.

Synonymes. Le nombre cardinal du continu est aussi appelé la puissance du continu.

Théorème 3. L'ensemble des points de tout intervalle ouvert (a, b) ou de toute la droite réelle a le nombre cardinal du continu.

Preuve. Si nous pouvons établir une correspondance bijective entre les points d'un segment de droite AB

et ceux de l'intervalle [0, 1] nous avons démontré le théorème. Sur la figure 6, nous montrons une telle correspondance où P correspond à P'.

Déf. Partition d'un ensemble. Une collection d'ensembles disjoints dont l'union est l'ensemble donné. Un ensemble des sous-ensembles non vides d'un ensemble S est une partition de S si

2) l'intersection de chaque paire de sous-ensembles distincts est l'ensemble nul.

1. Soit S = <1, 2, 3, 4, 5, 6>, A = <1, 5), B =<3, 4, 6>et C = <2>. Puis la collection d'ensembles représente une partition de S.

2. Soit N l'ensemble des entiers positifs

Propriétés des ensembles infinis. Si nous avons deux ensembles finis A et B sans éléments en commun, le nombre d'éléments dans leur somme C = A + B est égal à la somme du nombre d'éléments dans A plus le nombre d'éléments dans B. Ou, autrement dit , si un ensemble C est partitionné en deux sous-ensembles disjoints A et B, le nombre d'éléments de C est égal à la somme des éléments de ses deux sous-ensembles constitutifs A et B. Considérons maintenant le cas des ensembles infinis. Soient A, B et C les ensembles infinis suivants :

Ici C est la somme des ensembles A et B. Les ensembles A, B et C sont tous des ensembles dénombrables (infiniment dénombrables) et ont tous le même nombre cardinal, le nombre cardinal N 0 . Ainsi, le nombre cardinal de C est le même que l'un de ses sous-ensembles et n'est pas égal à la somme des nombres cardinaux de ses sous-ensembles constitutifs comme on pourrait s'y attendre. Ainsi, si nous pensons au nombre cardinal d'un ensemble comme représentant le nombre d'éléments dans l'ensemble, notre utilisation d'une correspondance biunivoque comme dispositif pour établir le nombre cardinal de l'ensemble conduit à des résultats impairs. La règle, "le tout est égal à la somme des parties" est violée.

Théorèmes pour les ensembles dénombrables (dénombrables infinis)

1] Tout ensemble infini contient un sous-ensemble dénombrable.

2] Tout sous-ensemble infini d'un ensemble dénombrable est dénombrable.

3] Une somme dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.

Théorème de Schroeder-Bernstein. Si A B C et A

Ensembles indexés. Une collection d'ensembles

peut être désigné par des notations telles que

Dans ces notations, l'ensemble I est appelé ensemble d'indices et les ensembles Aje sont appelés ensembles indexés. Chaque i ε I est appelé un index . Ces notations peuvent être vues comme des fonctions qui attribuent un ensemble Aje à chaque i ε I, c'est-à-dire les fonctions de I dans une collection d'ensembles.

Déf. Produit cartésien AB de deux ensembles A et B. Le produit cartésien AB (lire “A croix B”) de deux ensembles A et B est défini comme l'ensemble de toutes les paires ordonnées (a, b) où a est un membre de A et b est membre de B.

Syn. Ensemble de produits, produit direct, somme directe.

Exemple 1. Si A = <1, 2, 3>et B = le produit cartésien A B est donné par

Commentaires. Quelques commentaires s'imposent à propos du concept de produit cartésien de deux ensembles arbitraires A et B. On est certainement fondé à se demander : ce concept a-t-il un sens ? Quel sens peut-on donner à un produit cartésien ? Quel sens peut-on attacher aux paires ordonnées ? Eh bien, en général, une paire ordonnée n'a de sens que si elle a été assignée. Dans des cas spécifiques, lorsqu'une paire ordonnée a un sens, le concept de produit cartésien peut devenir significatif et utile. Le produit cartésien trouve un sens et une utilisation dans différents endroits, y compris la théorie des systèmes mathématiques abstraits tels que les groupes, les anneaux et les espaces vectoriels. On peut voir le concept de produit cartésien comme une généralisation/abstraction d'un concept relatif au plan cartésien. Ce concept est le suivant : l'ensemble de tous les points du plan cartésien peut être considéré comme l'ensemble de toutes les paires ordonnées (x, y) où x ε R et y ε R, R étant l'ensemble de tous les nombres réels . En fait, un produit cartésien est défini de telle sorte que R R est l'ensemble de tous les points dans ce que nous appelons le plan cartésien. D'où la motivation du terme. Par analogie avec la façon dont nous considérons les paires de nombres (x, y) comme des points dans le plan cartésien, nous pouvons voir les paires ordonnées d'un produit cartésien comme des points dans un cadre cartésien. La figure 7 montre une telle représentation pour les ensembles A = <1, 2, 3, 4> et B = .

Exemple 2. Soit A l'ensemble des nombres dans l'intervalle [3, 5] et B l'ensemble des nombres dans l'intervalle [2, 3]. Ensuite, le produit cartésien A B correspond à la région rectangulaire représentée sur la figure 8. Il se compose de tous les points (x, y) à l'intérieur de la région. De la même manière, si A est l'ensemble des nombres dans l'intervalle [3, 5], B est l'ensemble des nombres dans l'intervalle [2, 3] et C est l'ensemble des nombres dans l'intervalle [6, 7] le produit cartésien ABC est constitué de tous les points (x, y, z) d'un parallélépipède rectangle dans l'espace tridimensionnel défini par

Exemple 3. Soit I l'intervalle unité [0, 1] et C 1 l'intérieur et la frontière du cercle unité. Alors I I est le carré unité et C 1 I est un cylindre. Voir la figure 9.  

Le produit cartésien A1 UNE2 UNEm . Le produit cartésien A1 UNE2 UNEm de n ensembles A1, UNE2, . , UNEm est défini de manière similaire. C'est l'ensemble de tous les n-uplets ordonnés (un1, une2, . , unem) pour unje ε Aje (chacun unje prend toutes les valeurs de Aje, je = 1, 2, . n). Nous pouvons visualiser un n-uplet (un1, une2, . , unem) comme un point dans un espace à n dimensions défini par le produit cartésien A1 UNE2 UNEm . Les ensembles de composants A1, UNE2, , UNEm du produit sont appelés les ensembles de coordonnées de l'espace. L'ensemble Aje est appelé le i-ième ensemble de coordonnées du produit. La i-ième composante du n-uplet (un1, une2, . , unem) est appelée la i-ième coordonnée du vecteur (a1, une2, . , unem) dans l'espace n. Cette i-ième coordonnée du point est appelée la projection du vecteur (un1, une2, . , unem) sur le i-ième ensemble de coordonnées Aje.

Ce qui précède représente une généralisation des concepts associés à l'habituel 3-espace R 3 et n-espace R n . L'espace R n devient un cas particulier de ce qui précède lorsque A1 = Un2 = . = Unm = R.

Notations. Le produit cartésien A1 UNE2 UNEje d'une collection indexée d'ensembles <>je>je ε je est parfois désigné par

Fonction de projection. La fonction de projection fonctionne comme suit : Soit X = (a1, une2, . , unem) être un point dans l'espace à n dimensions défini par le produit cartésien A1 UNE2 UNEm . La fonction de projection πje(X) est défini comme

où unje est la i-ième coordonnée du point X = (a1, une2, . , unem). Voici unje représente la projection du vecteur (a1, une2, . , unem) sur le i-ième ensemble de coordonnées Aje , d'où le nom. La fonction de projection π est une fonction de l'espace à n dimensions défini par le produit cartésien A1 UNE2 UNEm dans le i-ième ensemble de coordonnées Xje.

Exemple. Soit R1, R2 et R3 désignent des copies de R . Considérons le point X = (3.1, 6.5, 2.8) dans l'espace à trois dimensions R R R = R1 R2 R3. Puis

Produit cartésien RR R. Le produit cartésien RRR correspond à l'ensemble de tous les points de l'espace à trois dimensions c'est-à-dire l'ensemble de tous les triplets de nombres (x, y, z), x ε R, y ε R, z & #949 R.

Produits cartésiens R 2 , R 3 , . , Rn. Le produit cartésien R R est généralement noté R 2 , le produit cartésien R R R est généralement noté R 3 et le produit cartésien R R . R (n fois) constitué de tous les n-uplets (x1, X2, . , Xm) est généralement noté R n .  

Généralement, un produit cartésien AB est considéré comme un tableau bidimensionnel de points avec chaque point correspondant à une paire ordonnée (x, y), un produit cartésien ABC est considéré comme un tableau tridimensionnel de points avec chaque point correspondant à un ordre triple (x, y, z) et un produit cartésien A1 UNE2 UNEm est considéré comme un tableau de points à n dimensions, chaque point correspondant à un n-uplet (ou n-vecteur). Une exception à cela est illustrée dans l'exemple 3 ci-dessus car C 1 est bidimensionnel.

Déf. Ensemble partiellement commandé. Un ensemble partiellement ordonné est un ensemble qui a la relation x < y, ou “x précède y”, défini sur celui-ci de telle sorte que pour tous les membres x, y et z de l'ensemble :

1) Il n'est jamais vrai que x < x          (la relation < n'est pas réflexive)

2) Si x < y, alors y < x ne peut pas également être vrai.     (la relation < est antisymétrique)

3) Si x < y et y < z, alors x < z          (la relation < est transitive)

Exemple. La relation “is un sous-ensemble propre de” définit un ordre partiel des sous-ensembles d'un ensemble.

Commandes partielles strictes et non strictes. L'ordre partiel défini ci-dessus est appelé un ordre partiel strict (ou non réfléchissant). Un ordre partiel non strict (ou faible ou réfléchissant) est une relation ≤ définie sur l'ensemble telle que pour tous les membres x, y et z de l'ensemble :

Exemple. La relation “is un sous-ensemble de” définit un ordre partiel non strict des sous-ensembles d'un ensemble.

Déf. Ensemble ordonné linéairement. Un ensemble qui remplit les conditions suivantes :

1) Il n'est jamais vrai que x < x.

2) Si x < y, alors y < x ne peut pas également être vrai.

3) Si x < y et y < z, alors x < z.

4) Pour deux membres x et y, exactement l'une des affirmations suivantes est vraie :

Syn. ensemble commandé, ensemble commandé en série, ensemble commandé simplement, chaîne

Exemple. L'ensemble des entiers positifs dans leur ordre naturel.

Déf. Ensemble bien commandé. Un ensemble ordonné linéairement pour lequel chaque sous-ensemble a un premier membre, c'est-à-dire un membre qui précède tous les autres membres.

Exemple 1. L'ensemble des entiers positifs dans leur ordre naturel est un ensemble bien ordonné puisque tous les sous-ensembles ont un premier membre.

Exemple 2. L'ensemble de tous les entiers dans leur ordre naturel n'est pas bien ordonné puisque l'ensemble lui-même n'a pas de premier membre.

Exemple 3. L'ensemble des nombres réels non négatifs dans leur ordre naturel n'est pas bien ordonné puisque le sous-ensemble constitué de nombres supérieurs à, disons 3, n'a pas de premier membre.


Que sont les opérations d'ensemble ?

Les opérations sur les ensembles existent lorsque deux ensembles ou plus sont joints pour former un ensemble dans certaines conditions. Fondamentalement, nous avons 4 types d'opérations sur les ensembles. Elles sont

  • Union d'Ensembles
  • Intersection d'ensembles
  • Complément des ensembles
  • Produit cartésien des ensembles

Opérations sur les ensembles

Ici, nous allons discuter de chacune des opérations sur les ensembles en détail avec les exemples.

1. Union d'Ensembles

L'union de deux ensembles A et B est un ensemble d'éléments qui sont à la fois dans A et. Il est noté A U B.

Écrivez maintenant chaque élément de A et B dans A U B sans répétition.

2. Intersection des ensembles

L'intersection de deux ensembles A et B désigne l'ensemble des éléments communs à A et B. Il est noté A B.

Maintenant, nous écrivons les éléments communs des deux ensembles A et B.

3. Différence ou complément d'ensemble

lorsque A et B sont deux ensembles, alors leur différence A – B signifie les éléments de A mais pas les éléments de B.

A moins B peut être écrit A – B.

A – B jamais égal à B – A. c'est-à-dire A – B ≠ B – A

Si A et B sont des ensembles disjoints, alors A – B = A et B – A = B.

Ensuite, A – B inclut les éléments de A mais pas les éléments de B.

Complément d'un ensemble

Le complément d'un ensemble est l'ensemble des éléments qui ne sont pas dans cet ensemble. Le complément de l'ensemble a est noté A’.

A’ = (U – A) ici U est l'ensemble universel qui contient tous les éléments.

4. Produit cartésien ou produit croisé

Le produit cartésien de deux ensembles non vides A et B est noté A x B. Le produit croisé est l'ensemble de toutes les paires ordonnées d'éléments de A et B. Le produit cartésien est également connu sous le nom de produit croisé.

Le produit croisé de deux ensembles A x B et B x A ne contient pas exactement les mêmes paires ordonnées.

Le produit croisé de A et B a 6 paires ordonnées.

Propriétés du produit cartésien

  • Il est non commutatif. c'est-à-dire A x B B x A
  • A x B = B x A, quand A = B
  • A x B = < >, si A = ∅ ou B = ∅
  • Le produit cartésien est non associatif. c'est-à-dire (A x B) x C A x (B x C)
  • La propriété distributive sur l'intersection, l'union et la différence d'ensemble sont
    • A x (B U C) = (Ax B) U (A x C)
    • A x (B C) = (A x B) ∩ (A x C)
    • A x (B/C) = (A x B) / (Ax C)

    Opérations d'ensemble et exemples

    Lire plus d'articles connexes :

    FAQ sur les opérations sur les ensembles

    1. Quelles sont les 4 opérations d'ensembles ?

    Les quatre opérations de base sur les ensembles sont l'union des ensembles, l'intersection des ensembles, la différence des ensembles et le produit cartésien des ensembles. Lorsque deux ensembles sont combinés sous certaines contraintes, nous utilisons alors ces opérations d'ensemble.

    2. Comment effectuer des opérations sur les décors ?

    En fonction des contraintes lors de la jonction de deux ensembles, des opérations sur les ensembles sont effectuées. L'union signifie l'ajout des éléments des deux ensembles, l'intersection signifie l'ajout des éléments communs de deux ensembles, la différence signifie l'ajout des éléments du premier ensemble mais pas du deuxième ensemble. Le produit croisé donne les paires ordonnées, en prenant les éléments des deux ensembles.

    3. Comment trouver A x B dans les ensembles ?

    A x B signifie le produit croisé de deux ensembles A et B qui signifie l'ensemble des paires ordonnées (a, b) où a A, b ∈ B. La forme du constructeur d'ensembles est A x B = < (a,b) | a A,b B >.

    4. Quelles sont les propriétés des opérations ensemblistes ?

    Les propriétés des opérations ensemblistes sont la propriété commutative, la propriété distributive, la propriété associative, la propriété d'identité, l'idempotent et le complément.


    Commençons à explorer les différentes relations entre les ensembles. Regardons les deux premiers types : l'union et l'intersection de deux ensembles. le syndicat de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B ou à la fois dans A et B ( 1 ). Le symbole ( 2 ) est utilisé pour représenter ce concept dans des énoncés mathématiques. Une telle relation peut également être exprimée à l'aide d'un Diagramme de Venn (3). Les zones oranges représentent l'union des deux ensembles. Étant donné deux ensembles, il est parfois nécessaire de savoir quels éléments les ensembles ont en commun. le intersection de deux ensembles A et B est un terme mathématique utilisé pour décrire la collection d'éléments qui sont dans A et B ( 1 ). Dans les énoncés mathématiques, le symbole ∩ ( 2 ) est utilisé pour représenter ce concept. Cette notion d'intersection peut aussi s'exprimer dans un Diagramme de Venn ( 3 ). La zone orange représente l'intersection des ensembles A et B.

    Considérons visuellement deux lignes aléatoires, A et B, qui ne sont pas parallèles l'une à l'autre. L'ensemble A est la collection de tous les points qui composent la ligne A. L'ensemble B est la collection de tous les points qui composent la ligne B. Dans la géométrie euclidienne, deux lignes qui ne sont pas parallèles se couperont toujours. Dans ce cas, l'intersection des ensembles A et B se compose d'un point et d'un seul point. Une telle représentation visuelle des intersections se trouve sur tous les plans des rues. Si vous êtes en déplacement, vous remarquerez que l'intersection de deux rues représente la section de route que les deux rues ont en commun.

    La plupart des symboles de base de la logique et de la théorie des ensembles utilisés aujourd'hui ont été introduits entre 1880 et 1920. Les symboles ∩ et ont été introduits par Giuseppe Peano (1858-1932), mathématicien italien, pour l'intersection et l'union dans Calcoloometrico ("Calcul géométrique") secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann (1888).


    Trouver l'union et l'intersection de deux tableaux non triés

    Étant donné deux tableaux non triés qui représentent deux ensembles (les éléments de chaque tableau sont distincts), recherchez l'union et l'intersection de deux tableaux.

    Par exemple, si les tableaux d'entrée sont :
    arr1[] = <7, 1, 5, 2, 3, 6>
    arr2[] = <3, 8, 6, 20, 7>
    Ensuite, votre programme doit afficher Union sous la forme <1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 20> et Intersection sous la forme <3, 6>. Notez que les éléments d'union et d'intersection peuvent être imprimés dans n'importe quel ordre.

    Méthode 1 (Naïf)
    Syndicat:
    1) Initialiser l'union U comme vide.
    2) Copiez tous les éléments du premier tableau dans U.
    3) Faites ce qui suit pour chaque élément x du deuxième tableau :
    …..a) Si x n'est pas présent dans le premier tableau, copiez x dans U.
    4) Retour U.

    Intersection:
    1) Initialiser l'intersection I comme vide.
    2) Faites ce qui suit pour chaque élément x du premier tableau
    …..a) Si x est présent dans le deuxième tableau, copiez x dans I.
    4) Retour I.

    La complexité temporelle de cette méthode est de O(mn) pour les deux opérations. Ici, m et n sont respectivement le nombre d'éléments dans arr1[] et arr2[].

    Méthode 2 (Utiliser le tri)
    1) Triez arr1[] et arr2[]. Cette étape prend un temps O(mLogm + nLogn).
    2) Utilisez les algorithmes O(m + n) pour trouver l'union et l'intersection de deux tableaux triés.

    La complexité temporelle globale de cette méthode est O(mLogm + nLogn).

    Méthode 3 (Utiliser le tri et la recherche)
    Syndicat:
    1) Initialiser l'union U comme vide.
    2) Trouvez le plus petit de m et n et triez le plus petit tableau.
    3) Copiez le plus petit tableau sur U.
    4) Pour chaque élément x d'un tableau plus grand, procédez comme suit
    …….b) Recherche binaire x dans un tableau plus petit. Si x n'est pas présent, copiez-le dans U.
    5) Retour U.

    Intersection:
    1) Initialiser l'intersection I comme vide.
    2) Trouvez le plus petit de m et n et triez le plus petit tableau.
    3) Pour chaque élément x d'un tableau plus grand, procédez comme suit
    …….b) Recherche binaire x dans un tableau plus petit. Si x est présent, copiez-le dans I.
    4) Retour I.

    La complexité temporelle de cette méthode est min(mLogm + nLogm, mLogn + nLogn) qui peut également être écrit sous la forme O((m+n)Logm, (m+n)Logn). Cette approche fonctionne bien mieux que l'approche précédente lorsque la différence entre les tailles de deux tableaux est significative.


    1.5 : Union, Intersection, Différence - Mathématiques

    1. fusionner(début1, fin1, début2, fin2, début3) :- Cette fonction fusionne deux conteneurs triés et stocke dans un nouveau conteneur dans l'ordre trié (tri par fusion). Il prend 5 arguments, premier et dernier itérateur du 1er conteneur, premier et dernier itérateur du 2ème conteneur et 1er itérateur du conteneur résultant.
    2. comprend(début1, fin1, début2, fin2) :- Cette fonction est utilisée pour vérifier si un élément de conteneur trié inclut ou non d'autres éléments de conteneur triés. Renvoie true si le 1er conteneur inclut le 2ème conteneur, sinon renvoie false.

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    1.5 : Union, Intersection, Différence - Mathématiques

    Souvent, nous sommes intéressés par le nombre d'éléments dans un ensemble ou un sous-ensemble. C'est ce qu'on appelle la cardinalité de l'ensemble.

    Cardinalité

    Le nombre d'éléments dans un ensemble est la cardinalité de cet ensemble.

    La cardinalité de l'ensemble UNE est souvent noté |UNE| ou n(UNE)

    Des exercices

    La cardinalité de B est 4, puisqu'il y a 4 éléments dans l'ensemble.

    La cardinalité de UNEB est 7, puisque UNEB = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 8>, qui contient 7 éléments.

    La cardinalité de UNEB est 3, puisque UNEB = <2, 4, 6>, qui contient 3 éléments.

    Essayez-le

    Des exercices

    Quelle est la cardinalité de P = l'ensemble des noms anglais pour les mois de l'année ?

    La cardinalité de cet ensemble est 12, puisqu'il y a 12 mois dans l'année.

    Parfois, nous pouvons être intéressés par la cardinalité de l'union ou de l'intersection des ensembles, mais ne pas connaître les éléments réels de chaque ensemble. C'est courant en arpentage.

    Des exercices

    Un sondage demande à 200 personnes « Quelle boisson buvez-vous le matin », et propose des choix :

    Supposons que 20 rapportent du thé uniquement, 80 rapportent du café uniquement, 40 rapportent les deux. Combien de personnes boivent du thé le matin ? Combien de personnes ne boivent ni thé ni café ?

    This question can most easily be answered by creating a Venn diagram. We can see that we can find the people who drink tea by adding those who drink only tea to those who drink both: 60 people.

    We can also see that those who drink neither are those not contained in the any of the three other groupings, so we can count those by subtracting from the cardinality of the universal set, 200.

    200 – 20 – 80 – 40 = 60 people who drink neither.

    Try It

    Exemple

    A survey asks: Which online services have you used in the last month:

    The results show 40% of those surveyed have used Twitter, 70% have used Facebook, and 20% have used both. How many people have used neither Twitter or Facebook?

    Laisser T be the set of all people who have used Twitter, and F be the set of all people who have used Facebook. Notice that while the cardinality of F is 70% and the cardinality of T is 40%, the cardinality of FT is not simply 70% + 40%, since that would count those who use both services twice. To find the cardinality of FT, we can add the cardinality of F and the cardinality of T, then subtract those in intersection that we’ve counted twice. In symbols,

    Exemple

    Now, to find how many people have not used either service, we’re looking for the cardinality of (FT)c .

    The previous example illustrated two important properties called cardinality properties:

    Cardinality properties

    Notice that the first property can also be written in an equivalent form by solving for the cardinality of the intersection:

    Exemple

    Fifty students were surveyed, and asked if they were taking a social science (SS), humanities (HM) or a natural science (NS) course the next quarter.

    21 were taking a SS course 26 were taking a HM course

    19 were taking a NS course 9 were taking SS and HM

    7 were taking SS and NS 10 were taking HM and NS

    3 were taking all three 7 were taking none

    How many students are only taking a SS course?

    It might help to look at a Venn diagram.

    From the given data, we know that there are

    3 students in region e et

    Since 7 students were taking a SS and NS course, we know that n() + n(e) = 7. Since we know there are 3 students in region 3, there must be

    7 – 3 = 4 students in region .

    Similarly, since there are 10 students taking HM and NS, which includes regions e et F, there must be

    10 – 3 = 7 students in region F.

    Since 9 students were taking SS and HM, there must be 9 – 3 = 6 students in region b.

    Now, we know that 21 students were taking a SS course. This includes students from regions a, b, d, et e. Since we know the number of students in all but region une, we can determine that 21 – 6 – 4 – 3 = 8 students are in region une.

    8 students are taking only a SS course.

    Try It

    One hundred fifty people were surveyed and asked if they believed in UFOs, ghosts, and Bigfoot.

    43 believed in UFOs 44 believed in ghosts

    25 believed in Bigfoot 10 believed in UFOs and ghosts

    8 believed in ghosts and Bigfoot 5 believed in UFOs and Bigfoot

    How many people surveyed believed in at least one of these things?

    1. There are several answers: The set of all odd numbers less than 10. The set of all odd numbers. The set of all integers. The set of all real numbers.

    4. Starting with the intersection of all three circles, we work our way out. Since 10 people believe in UFOs and Ghosts, and 2 believe in all three, that leaves 8 that believe in only UFOs and Ghosts. We work our way out, filling in all the regions. Once we have, we can add up all those regions, getting 91 people in the union of all three sets. This leaves 150 – 91 = 59 who believe in none.


    Solved Problems

    Click or tap a problem to see the solution.

    Exemple 1

    Exemple 2

    Exemple 3

    Exemple 4

    Exemple 5

    Exemple 6

    Example 7

    Example 8

    Example 1.

    1. By definition, the union of sets () contains all elements which are either in set (A) or set (B) or in both (A) and (B.) Therefore, we can write [= < left< <2,3,4,5,6,7> ight> cup left < <0,1,5,6> ight> >= < left< <0,1,2,3,4,5,6,7> ight>.>]
    2. The intersection of sets () is defined as the set containing all elements of (A) that also belong to (B.) Using this definition, we obtain [= < left< <2,3,4,5,6,7> ight> cup left < <0,1,5,6> ight> >= < left< <5,6> ight>.>]
    3. The set difference () contains only those elements of (A) that do not belong to (B.) [= < left< <2,3,4,5,6,7> ight>ackslash left < <0,1,5,6> ight> >= < left< <2,3,4,7> ight>.>]
    4. This question is opposite of the previous one. The set difference () contains only those elements of (B) that do not belong to (A.) [= < left< <0,1,5,6> ight>ackslash left < <2,3,4,5,6,7> ight> >= < left< <0,1> ight>.>]
    5. We compute the symmetric difference () by the formula (A , riangle, B = left( ight) cup left( ight).) This yields: [= < left( ight) cup left( ight) >= < left< <2,3,4,7> ight> cup left < <0,1> ight> >= < left< <0,1,2,3,4,7> ight>.>]

    Example 2.

    1. The complement of the set (B) is written as follows: [ <= Uackslash B >= < left< <1,2, ldots ,10> ight>ackslash < 5,6,7>>=< < 1,2,3,4,8,9,10>.>] The set (A) in roster form is expressed as (A = < 2,4,6,8,10>,) so the set union (A cup ) is given by [ ext< = >>kern0pt < < 2,4,6,8,10>cup < 1,2,3,4,8,9,10>>= < left< <1,2,3,4,6,8,9,10> ight>.>]
    2. First we determine the set intersection (:) [= < < 2,4,6,8,10>cap < 5,6,7>>=< left< 6 ight>.>] Now we compute the complement ( ight)^c>:) [ < ight)^c> >= < Uackslash left( ight) >= < left< <1,2, ldots ,10> ight>ackslash left < 6 ight>>= < left< <1,2,3,4,5,7,8,9,10> ight>.>]
    3. Find the set difference () in roster form: [= < < 2,4,6,8,10>ackslash < 5,6,7>>= < left< <2,4,8,10> ight>.>] Hence, the complement ( ight)^c>) is given by [ < ight)^c> >= < Uackslash left( ight) >= < left< <1,2, ldots ,10> ight>ackslash left < <2,4,8,10> ight> >= < left< <1,3,5,6,7,9> ight>.>]

    Example 3.

    We can express the set (A) as follows:

    Compute the elements of the set (A:)

    Similarly, we determine the elements of the set (B:)

    Example 4.

    We can find the set (A) as follows:

    Example 5.

    The region (A cap left( ight)) is colored with orange.

    Example 6.

    The region (left( > ight) cup left( > ight)) is colored with orange.

    Example 7.

    We denote the set of students learning Spanish by (S), the set of students learning French – by (F,) and the set of students learning Chinese – by (C.)

    Let (x) be the number of students learning the (3) languages simultaneously. Draw the Venn diagram and express in terms of (x) the number of students in all regions.

    As the number of students learning Spanish and French is (12,) the intersection between the sets (S) and (F) is represented in the form (12 = x + left( <12 – x> ight).)

    Similarly, since (8) students learn Spanish and Chinese, we represent the intersection between the two sets as (8 = x + left( <8 – x> ight).)

    The last pair of French and Chinese is given by (10 = x + left( <10 – x> ight).)

    Recall that the total number of students learning Spanish is (45.) Using the Venn diagram, we find that the remaining portion of the green circle (S) contains the number of students equal to

    Similarly, we can calculate the remaining portion of the blue circle (F:)

    For the purple circle (C) we have

    Now all the partitions are expressed in terms of (x,) so we can write the following equation:

    Solving it for (x,) we find the number of students learning all (3) languages:

    Example 8.

    We denote the subsets of numbers multiple of (2,) (3,) and (5), respectively by (A,) (B,) and (C.) By condition,

    If a number is multiple of (6,) this means it is divisible by (2) and (3.) So such numbers belong to the intersection of the subsets (A) and (B,) and we can write

    Finally, if a number is multiple of (30,) this means it is divisible by (2,) (3,) and (5.) Here we have the intersection of three subsets:


    1.5: Union, Intersection, Difference - Mathematics

    le syndicat of two sets is a set containing all elements that are in $A$ ou alors in $B$ (possibly both). For example, $<1,2>cup<2,3>=<1,2,3>$. Thus, we can write $xin(Acup B)$ if and only if $(xin A)$ or $(xin B)$. Note that $A cup B=B cup A$. In Figure 1.4, the union of sets $A$ and $B$ is shown by the shaded area in the Venn diagram.

    Fig.1.4 - The shaded area shows the set $B cup A$.

    Similarly we can define the union of three or more sets. In particular, if $A_1, A_2, A_3,cdots, A_n$ are $n$ sets, their union $A_1 cup A_2 cup A_3 cdots cup A_n$ is a set containing all elements that are in at least one of the sets. We can write this union more compactly by $igcup_^ A_i.$ For example, if $A_1=, A_2=, A_3=$, then $igcup_ A_i=A_1 cup A_2 cup A_3=$. We can similarly define the union of infinitely many sets $A_1 cup A_2 cup A_3 cupcdots$.

    le intersection of two sets $A$ and $B$, denoted by $A cap B$, consists of all elements that are both in $A$ $underline< extrm>$ $B$. For example, $<1,2>cap<2,3>=<2>$. In Figure 1.5, the intersection of sets $A$ and $B$ is shown by the shaded area using a Venn diagram.

    Fig.1.5 - The shaded area shows the set $B cap A$.

    More generally, for sets $A_1,A_2,A_3,cdots$, their intersection $igcap_i A_i$ is defined as the set consisting of the elements that are in all $A_i