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5.E : Problèmes de valeurs propres (Exercices) - Mathématiques


Il s'agit d'exercices à la maison pour accompagner la carte textuelle "Équations différentielles pour l'ingénierie" de Libl. Il s'agit d'un manuel destiné à un premier cours d'un semestre sur les équations différentielles, destiné aux élèves ingénieurs. Le prérequis pour le cours est la séquence de calcul de base.

5.1 : Problèmes de Sturm-Liouville

Exercice 5.1.4 : Trouver les valeurs propres et les fonctions propres de

[y''+ lambda y=0,~~~y(0)-y'(0)=0,~~~y(1)=0.]

Exercice 5.1.5 : Développer la fonction (f(x)=x) sur (0 leq x leq 1) en utilisant les fonctions propres du système

[y''+ lambda y=0,~~~y'(0)=0,~~~y(1)=0.]

Exercice 5.1.6 : Supposons que vous ayez un problème de Sturm-Liouville sur l'intervalle ([0,1]) et que vous trouviez (y_n(x)=sin(gamma nx)), où ( gamma >0) est une constante. Décomposer (f(x)=x, 0

Exercice 5.1.7 : Trouver les valeurs propres et les fonctions propres de

[y'^{(4)}+ lambda y=0,~~~y(0)=0,~~~y'(0)=0,~~~y(1)=0~~~ y'(1)=0.]

Ce problème n'est pas un problème de Sturm-Liouville, mais l'idée est la même.

Exercice 5.1.8 (plus difficile) : Trouver des valeurs propres et des fonctions propres pour

[frac{d}{dx}(e^xy')+ lambda e^xy=0,~~~y(0)=0,~~~y(1)=0.]

Astuce : écrivez d'abord le système sous la forme d'un système à coefficients constants pour trouver des solutions générales. Notez que le théorème 5.1.1 garantit (lambda geq 0).

Exercice 5.1.101 : Trouver les valeurs propres et les fonctions propres de

[y''+ lambda y=0,~~~y(-1)=0,~~~y(1)=0.]

Exercice 5.1.102 : Mettez les problèmes suivants sous la forme standard des problèmes de Sturm-Liouville, c'est-à-dire trouvez (p(x),q(x), r(x), alpha_1,alpha_,eta_1, beta_1, ), et décidez si les problèmes sont réguliers ou non.

(a) ~xy''+lambda y=0) pour (0

(b) ~ (1+x^2)y''+2xy'+(lambda -x^2)y=0) pour (-1

5.2 : Application des séries de fonctions propres

Exercice 5.2.2 : Supposons que vous ayez une poutre de longueur (5) avec des extrémités libres. Soit (y) la déviation transversale de la poutre à la position (x) sur la poutre ((0

Exercice 5.2.3 : Supposons que vous ayez une poutre de longueur (5) avec une extrémité libre et une extrémité fixe (l'extrémité fixe est à (x=5)). Soit (u) la déviation longitudinale de la poutre à la position (x) sur la poutre ((0

Exercice 5.2.4 : Supposons que la poutre mesure (L) unités de long, tout le reste reste identique à (5.2.2). Quelle est l'équation et la solution en série ?

Exercice 5.2.5 : Supposons que vous ayez

[ a^4y_{xxxx}+y_{tt}=0~~~~(00), y(0,t)=y_{xx}(0,t)= 0, y(1,t)=y_{xx}(1,t)=0, y(x,0)=f(x),~~~~y_t(x,0)=g( X). ]

C'est-à-dire que vous avez également une vitesse initiale. Trouvez une solution en série. Astuce : utilisez la même idée que pour l'équation d'onde.

Exercice 5.2.101 : Supposons que vous ayez une poutre de longueur (1) avec des extrémités articulées. Soit (y) la déviation transversale de la poutre à la position (x) sur la poutre ((0

Exercice 5.2.102 : Supposons que vous ayez une poutre de longueur (10) avec deux extrémités fixes. Laisser être la déviation transversale du faisceau à la position sur la poutre ((0

5.3 : Solutions périodiques stables

Exercice 5.3.5 : Supposons que la fonction de forçage pour la corde vibrante soit (F_0 sin(omega t)). Dérivez la solution particulière (y_p).

Exercice 5.3.6 : Prenez la corde vibrante forcée. Supposons que (L=1,a=1). Supposons que la fonction de forçage soit l'onde carrée qui est (1) sur l'intervalle (0

Exercice 5.3.7 : Les unités sont les cgs (centimètres-grammes-secondes). Pour (k=0,005, omega =1,991 imes 10^{-7},A_0=20). Trouvez la profondeur à laquelle la variation de température est la moitié ((pm 10) degrés) de ce qu'elle est à la surface.

Exercice 5.3.8 : Déduire la solution pour l'oscillation de la température souterraine sans supposer que (T_0=0).

Exercice 5.3.101 : Prenez la corde vibrante forcée. Supposons que la fonction de forçage soit une dent de scie, c'est-à-dire (|x|-frac{1}{2}) sur (-1

Exercice 5.3.102 : Les unités sont les cgs (centimètres-grammes-secondes). Pour (k=0,01, omega =1,991 imes 10^{-7},A_0=25). Trouvez la profondeur à laquelle l'été est à nouveau le point le plus chaud.


Voir la vidéo: Exercice 1- Diagonalisation (Décembre 2021).