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Entiers gaussiens et origines de la théorie des nombres algébriques


Entre 1808 et 1825, le mathématicien allemand Carl F. Gauss a étudié les problèmes liés à la réciprocité cubique (x3 º quoi(mod p) où p et quoi nombres premiers) et à la réciprocité dans les deux sens (x4 º quoi(mod p) où p et quoi nombres premiers), quand il a réalisé que cette enquête avait été simplifiée en travaillant sur Zje, l'anneau des entiers gaussiens, que dans Z, l'ensemble des entiers. L'ensemble Zje est formé par les nombres complexes de la forme le + bjele et b sont des entiers et je = (-1)1/2.

Gauss a étendu l'idée d'entier lors de la définition de l'ensemble Zjeparce qu'il a découvert qu'une grande partie de l'ancienne théorie d'Euclide de la factorisation entière pouvait être portée à Zje avec des conséquences importantes pour la théorie des nombres. Il a développé une théorie de la factorisation principale pour ces nombres complexes et a démontré que cette décomposition principale est unique, comme pour l'ensemble des nombres. L'utilisation par Gauss de ce nouveau type de nombre était d'une importance fondamentale pour démontrer le dernier théorème de Fermat.

Les entiers gaussiens sont des exemples d'un type particulier de nombre complexe, c'est-à-dire des nombres complexes qui sont des solutions d'une équation polynomiale.

lenonxnon + len-1 xnon-1+… + le1x + le0 = 0,

où tous les coefficients lenon, len-1,… , le1, le0 sont des entiers. Ces nombres complexes qui sont les racines d'une équation polynomiale avec des coefficients entiers sont appelés entiers algébriques. Par exemple, l'unité imaginaire, i, est un entier algébrique car elle satisfait l'équation x2 + 1 = 0, racine carrée 21/2 de 2 car il satisfait l'équation x2 - 2 = 0. Notez que les nombres je, 21/2 sont des exemples d'entiers algébriques et ne sont pas des entiers.

Il existe des nombres algébriques infinis et des nombres réels non algébriques infinis, comme le nombre d'Euler. et, ou comme zone pd'un cercle de rayon 1. Un nombre qui n'est pas algébrique est appelé «nombre transcendant». Les nombres transcendants sont tous irrationnels. Cependant, l'inverse n'est pas vrai, car 21/2 est un nombre irrationnel et algébrique comme nous l'avons vu ci-dessus.

La généralisation de la notion d'entier en entier algébrique donne des exemples spéciaux de développements beaucoup plus profonds que nous appelons la théorie des nombres algébriques.

Une grande partie de la théorie des nombres algébriques s'est développée à travers des tentatives pour résoudre l'équation diophantienne, mieux connue sous le nom d'équation de Fermat.

xnon + ynon = znon ,

car les entiers algébriques apparaissent naturellement comme un outil pour résoudre ce problème.

Dans les années 1840, l'importance du concept de factorisation unique est devenue évidente. En 1847, le mathématicien français Gabriel Lamé (1795-1870) a annoncé une démonstration du dernier théorème de Fermat pour chaque exposant. non dans cette équation de Fermat. Cependant, le mathématicien Joseph Liouville (1809-1882), observant la méthode proposée, a souligné que la démonstration supposait subtilement l'unicité de la factorisation unique. Les soupçons de Liouville ont été confirmés lorsqu'il a reçu plus tard une lettre du brillant mathématicien allemand Ernest Kummer (1810-1893) montrant que l'unicité de la factorisation unique échouait dans certaines situations. Le premier départ pour non = 23. Kummer avait publié il y a trois ans un article montrant que la factorisation unique ne fonctionnait pas dans certaines situations détruisant ainsi la manifestation de Lamé. Malheureusement, l'article de Kummer a été publié dans un magazine obscur et est passé inaperçu par Lamé.

En 1843, Kummer croyait avoir démontré le dernier théorème de Fermat en utilisant le corps Q de nombres rationnels, ajouté aux racines. p-s de l'unité, c'est un nombre complexe V tel que Vp = 1 où p est un nombre premier impair. Kummer considérait la racine primitive p-th V de l'unité, c'est un nombre complexe V tel que Vp = 1 mais Vnon Quando 1 quand 1 < non < p. Considérez Q (V) désignant l'ensemble de tous les nombres du formulaire

lep-2Vp-2 + lep-1Vp-1+… + le1V + le0 = 0,

où les coefficients lep-2, lep-1,… , le1 et le0 Ce sont des nombres rationnels.

Les nombres en Q (V) qui ont des coefficients entiers sont appelés entiers algébriques de Q (V). Par exemple, le nombre ½ + 3V est un élément de Q (V), mais n'est pas un entier algébrique; 4 - 8V + 3V2 + V3 est un entier algébrique.

Kummer a observé que la somme des différences, des produits et des quotients des éléments Q (V) sont des éléments de Q (V) et que les sommes, les différences et les produits des entiers algébriques sont des entiers algébriques. De cette façon, Kummer a étendu la théorie des nombres entiers gaussiens à l'ensemble des entiers algébriques d'un corps. Il a ensuite pris la décomposition suivante de l'équation de Fermat pour non = p,

xp + yp = (x + y 1) (x + y V)… (x + y Vp - 1) = zp.

Il a donc démontré que cette équation n'a pas de solution x, y, z avec xyz ¹ 0. Cependant, Kummer avait besoin du fait que pour les entiers de Q (V) La propriété de la factorisation unique est valide et ce fait n'est généralement pas valable. La propriété de factorisation unique est valide pour p = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, mais non valable, par exemple, pour p = 23. Cette propriété n'est pas valide pour un nombre infini de nombres premiers. p.

Kummer a eu la brillante idée de créer plus d'entiers afin de retrouver la propriété de la factorisation unique. Cependant, ces entiers n'appartiennent pas à Q (V). L'idée était d'utiliser ces nouveaux entiers comme facteurs des entiers algébriques de Q (V) de manière à pouvoir récupérer la factorisation unique. Ces nouveaux entiers ont été appelés par Kummer Ideal Numbers et les ont considérés comme suit:

(lep-2 Vp-2 + lep-1Vp-1+… + le1V + le0)1 / r

où les coefficients lep -2, lep -1,… , le1 et le0 sont des entiers et r est un entier positif. Le nombre r n'est pas arbitraire, son choix est lié à certaines valeurs autorisées selon le choix de

le = lep-2 Vp-2 + lep-1Vp-1+… + le1V + le0.

Poursuivre ce raisonnement est un entier h, appelé numéro de classe de corps, qui ne dépend que du corps donné Q (V) et il est tel que le donné, toutes les valeurs admissibles de r partager h. Lorsque Q (V) a la propriété de la factorisation unique, la valeur r = 1 est évidemment ce dont nous avons besoin pour restaurer la factorisation unique. Cela se reflète dans le fait que le numéro de classe h sera égal à 1 si et seulement si Q (V) a la propriété d'une factorisation unique.

Lorsque Kummer a révisé sa démonstration du dernier théorème de Fermat, sous un nouveau look, il s'est rendu compte qu'il pouvait le démontrer à des exposants plus principaux, mais pas tous. Il a trouvé une démonstration qui valait pour les cousins ​​qui ne partageaient pas h, le numéro de classe associé au corpsQ (V). Il a ainsi reconnu que certains cousins ​​avaient un schéma qu'il appelait la régularité: si le cousin p ne divise pas h Cela s'appelle un cousin régulier, et cela s'appelle un cousin irrégulier sinon. En utilisant cette propriété de régularité que présentent certains nombres premiers, Kummer a pu démontrer que le dernier théorème de Fermat s'applique à tous les exposants. non = p qui sont des cousins ​​réguliers. Les seuls cousins ​​irréguliers de moins de 100 sont p = 37, 59, 67.

En 1850, surmonter les difficultés de l'unicité de la factorisation unique et introduire la théorie des nombres complexes «idéale» Kummer a démontré le théorème de Fermat pour tous les exposants jusqu'à 36 et tous les exposants premiers en dessous de 100, sauf pour les exposants premiers 37, 59 et 67. On observe que, bien que p = 23 n'a pas la propriété d'une factorisation unique, le résultat de Kummer sur les cousins ​​réguliers montre que le théorème de Fermat est vrai pour cet exposant. En outre, Kummer a également développé des méthodes puissantes avec des applications à de nombreux autres problèmes mathématiques et a produit d'importants travaux sur la réfraction atmosphérique et balistique.

Cette théorie a pris une forme différente de ce que Kummer nous a légué. Le mathématicien Dedekind (1831-1916) a reformulé le concept de nombre idéal proposé par Kummer, proposant le concept clé fondamental de l'idéal d'un anneau qui reste aujourd'hui. La définition de Dedekind est distincte de la définition de Kummer, mais il est démontré qu'elles sont équivalentes.

Dans la colonne suivante, nous étudierons une partie de la factorisation des idéaux de Dedekind.

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