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Fonctions définies explicitement et implicitement


Jusqu'à présent, nous nous sommes intéressés aux fonctions de différenciation qui s'expriment sous la forme y = f (x). Nous disons qu'une équation de cette forme définit y explicitement en fonction de x, car la variable y apparaît seul d'un côté de l'équation. Cependant, parfois les fonctions sont définies avec des équations dans lesquelles y Ce n'est pas seul d'un côté; par exemple l'équation

yx + y +1 = x

ce n'est pas sous la forme y = f (x). Cependant, cette équation définit toujours y en fonction de xune fois que vous pouvez réécrire

y =

Nous disons donc que xy + y +1 = x définir y implicitement en fonction de xêtre

f (x) =

Une équation dans x et y peut implicitement définir plus d'une fonction de x; par exemple, si nous résolvons l'équation

à y en termes de xnous obtenons ; on trouve donc deux fonctions qui sont implicitement définies par c'est-à-dire

et

Les graphiques de ces fonctions sont les demi-cercles supérieurs et inférieurs du cercle. .


y =

y = -

En général, si nous avons une équation x et y, de sorte que tout segment de votre graphique qui réussit le test vertical peut être considéré comme un graphique d'une fonction définie par l'équation. Ainsi, nous faisons la définition suivante:

Définition Nous disons qu'une équation donnée dans x et y définir la fonction f implicitement si le graphique de y = f (x) correspondent à certains segments du graphique d'équation.

Ainsi, par exemple, l'équation définir les fonctions et implicitement, puisque les graphiques de ces fonctions sont les segments du cercle .

Parfois, il peut être difficile, voire impossible, de résoudre une équation x et y à y en termes de x.

Avec persistance, l'équation

par exemple, il peut être résolu y en termes de x, mais l'algèbre est ennuyeuse et les formules résultantes sont compliquées. D'un autre côté, l'équation

sen (xy) = y

ne peut pas être résolu y en termes de x par toute méthode élémentaire. Donc, même si une équation x et y peut définir une ou plusieurs fonctions de x, il peut ne pas être pratique ou possible de trouver des formules explicites pour ces fonctions.

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